OI数学学习笔记

1 .裴蜀定理:$$ax+by=gcd(a,b)$$

2.威尔逊定理

若\(p\)为素数，则$$p \mid (p - 1)! + 1$$

3.算数基本定理

每个正整数都能够唯一的表示成它的质因数的乘积

\[n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s},p_1<p_2<\cdots <p_s \]

4.积性函数

如果算术函数\(f\)对任意两个互素的正整数\(p\)和\(q\)，均有$$f(pq)=f(p)f(q)$$称为积性函数（或译为乘性函数）

5.欧拉函数

\[\phi (n)=n \times \prod_{i=1}^{s}\frac{p_i-1}{p_i} \]

6.同余定理信竞

\(a ≡ b (mod m)\)，\(m\)称为同余的模

7.费马小定理

若\(p\)为质数，且\(a\),\(p\)互质,则 $$a^ {p-1} ≡ 1 (\bmod p)$$

8.约数个数定理

\[n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i}=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} \]

8（1）.约数和定理

\[\prod _{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j=\prod_{i=1}^k(p_i^0+p_i^1+\cdots+p_i^{a_i})=(p_1^0+p_i^1+\cdots+p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(p_k^0+p_k^1+\cdots+p_k^{a_k}) \]

9.常见的积性函数

\(I(n)\)：恒等函数,\(I(n)\)=\(n\)

\(id(n):\)单位函数，\(id(n)\)=\(n\)

\(I_k(n):\)幂函数，\(I_k(n)\)=\(n^k\)

\(\sigma(n):\)因子和函数，

\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d \]

\(d(n):\)约数个数，

\[d(n)=\sum_{d|n}1 \]

10.二元线性丢番图方程(不定方程）

二元线性丢番图方程 \(ax + by = c\)

\(ax + by = c\)有解的充分必要条件是\(d\) =$ gcd(a, b)\(能**整除**\)c$

11.扩展欧几里得算法与二元丢番图方程的解

(1) 判断方程\(ax + by = c\)是否有整数解，即\(gcd(a,b)\)能整除\(c\)。记\(d\) = \(gcd(a,b)\)

(2) 用扩展欧几里得算法求\(ax + by\) = \(d\)的一个特解\(x_0,y_0\)

(3) 在$ax_0 + by_0 $= \(d\)两边同时乘以\(c/d\)得：\(a x_0 c/d + b y_0 c/d\)= \(c\)

(4) 对照\(ax+by=c\),得到它的一个解\((x_0',y_0')\)是：\(x_0'=\frac{c}{d}x_0\)，\(y_0'=\frac{c}{d}y_0\)

(5) 方程\(ax+by=c\)的通解：\(x=x_0'+\frac{b}{d}n，y=y_0'-\frac{a}{d}n\)

12.一元线性同余方程

设\(x\)是未知数,给定\(a、b、m\)，求整数\(x\),满足\(ax\equiv b(mod m)\)

\(ax\equiv b(mod m)\)表示\(ax-b\)是\(m\)的倍数，设为\(-y\)倍，则有\(ax+my=b\)，这就是二元线性丢番图。

求解一元线性同余方程等价于求解二元线性丢番图

13.求解线性同余方程组

\(\begin{cases}x\equiv r_1(mod m_1)\\x\equiv r2(mod m_2)\\\cdots\\x\equiv r_n(mod m_n)\end{cases}\)

其中模数\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)为两两互质的整数，求\(x\)的最小非负整数解。

14.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem,CRT）

1.计算所有模数的积\(M\)

2.计算第\(i\)个方程的\(c_i^{-1}\)

3.计算\(c_i\)在模\(m_i\)意义下的逆元\(c_i^{-1}\)

4.\(x=\sum_{i=1}^n r_i c_i c_i^{-1}(modM)\)

15.拓展中国剩余定理(EXCRT)

前两个方程:\(x\equiv r_1(mod m_1),x\equiv r_2(mod m_2)\)转换为不定方程：\(x=m_1p+r_1=m_2q+r_2\)则\(m_1p-m_2q=r_2-r_1\)

16.思维导图

\(裴蜀定理{ax+by=gcd(a,b)}\begin{cases}扩欧定理ax+by=gcd(a,b)\end{cases} \begin{cases}不定方程ax+by=c\\同余方程ax \equiv b (mod m)\\乘法逆元ax\equiv 1(modm)\\中国剩余定理 x\equiv=r_i(modm_i)\\拓展中国剩余定理 x\equiv r_i(modm_i)\end{cases}\)

17.加法原理

设集合\(s\)划分为部分\(S1,S2,\cdots，Sm\)，则\(S\)的元素个数可以通过找出它的每一部分的元素个数来准确，即\(|S|=|S1|+|S2|+\cdots+|Sm|。\)

18.乘法原理

\(\cdot\) 令\(S\)是元素的序偶\((a，b)\)的集合，其中第一个元素\(a\)来自大小为\(p\)的一个集合，而对于\(a\)的每个选择，元素\(b\)有\(q\)种选择，则\(S\)的大小为\(p×q\)。

\(\cdot\) 乘法原理是加法原理的推论，因为整数的乘法就是重复的加法。

19.排列

(1) 不可重复排列数：从\(n\)个不同的物品中不重复地取出\(r\)个，排列数：$$P_n^r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)= \frac{n!}{(n-r)!}$$

(2) 可重复排列数： 从\(n\)个不同的物品中可重复地取出\(r\)个，排列数为\(n^r\)

(3) 圆排列(循环排列、环排列)的排列数： 从\(n\)个元素中选\(r\)个的圆排列的排列数为\(\frac{P_n^r}{r}\)=\(\frac{n!}{r(n-r)！}\)

20.组合

(1) 如果\(S\)中的元素都不相同，组合数：
\(C_n^r\)=\(\begin{pmatrix}n\\k\\\end{pmatrix}\)=\(\frac{P_n^r}{r!}\)=\(\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

(2) 组合数三个重要性质：

1. \(C_n^r=C_n^{n-r}\)

2. \(C_n^r=C_{n-1}^r+C_{n-1}^{r-1}\)

3 \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n\)

21.多重集的排列和组合:S中的元素可以相同，称多重集，如 S={\(5 \times a,7 \times b,4 \times c\)}

(1) 无限多重集的排列 :\(S\)是一个多重集，它有k个不同的元素,每个元素都有无穷重复个数，\(S\)的\(r\)排列个数为\(k_r\)

(2)有限多重集的排列： \(S\)是一个多重集，它有\(k\)个不同的元素,每个元素的重数分别为\(n_1,n_2,\cdots,n_k\)，\(S\)的大小是\(n=n_1+n_2+\cdots+n_k\)，则\(S\)的\(n\)排列个数为\(\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\)

(3) 有限多重的组合：
\(S\)是一个多重集，它有\(k\)个不同的元素，每个元素都有无穷重复个数，那么\(S\)的\(r\)组合为

\[C_{r+k-1}^r= \begin{pmatrix} r+k-1 \\ r \end{pmatrix}=C_{r+k-1}^{k+1}=\begin{pmatrix}{r+k-1}\\{k-1}\end{pmatrix} \]

22.杨辉三角计算公式

(1). 组合公式\(C_n^r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

(2). 杨辉三角可以用\((1+x)^n\)来定义和计算

23.二项式系数的计算

(1). 组合公式: \(C_n^r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)，就是\((1+x)^n\)展开后第\(r\)项的系数

\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^nC_n^rx^r \]

(2) 推导得到二项式定理

\[(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^ra^rb^{n-r}=\sum_{r=0}^{n}C_n^rb^ra^{n-r} \]

(3). 二项式系数有两种计算方法：

1. 递推公式：\(C_n^r=C_{n-1}^{r}+C_{n-1}^{r-1}\)
2. 用逆直接计算

\[C_n^r \bmod m=\frac{n!}{r!(n-r)!}\bmod m=(n!\bmod m)((r!)^{-1}\bmod m)(((n-r)!)^{-1}\bmod m)\bmod m \]

24.卢卡斯定理

(1). 卢卡斯定理用于计算组合数取模：求\(C_n^r\bmod m\)

(2). \(m\)为素数，用于\(m\)比较小的情况的计算

(3).卢卡斯定理: 对于非负整数\(n、r\)和素数\(m\)，有：\(C_n^r\equiv \prod_{i=0}^k(\bmod m)\)或者：\(C_n^r\bmod m\)=\(\prod_{i=0}^kC_{n_i}^{r_i}\bmod m\)=\(\prod_{i=0}^kC_{n_i}^{r_i}\bmod m\)

(4). \(n=n_km^k+\cdots+n_1m+n_0,r=r_km^k+\cdots+r_1m+r_0\)，是\(n\)和\(r\)的\(m\)进制展开。

(5). 把\(n、r\)表示\(m\)进制数，对\(m\)进制下的每一位分别计算组合数，最后乘起来。

25.编码

(1). 编码时用卢卡斯定理的另一种表达：
\(C_n^r\equiv C_{n \bmod m}^{r \bmod m}\cdot C_{\frac{n}{m}}^{\frac{r}{m}}(\bmod m)\)

26.鸽巢原理

1. \(k\times n+1\) 只鸽子住 \(n\) 个巢里，那么一定有 \(k+1\) 只或更多鸽子。