CF368B Sereja and Suffixes 题解

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有 \(n\) 个数 \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)。有 \(m\) 次询问，每次给定一个数 \(l\)，查询在区间 \([l,n]\) 内不同的数一共有多少个。

数据范围：\(1\leqslant n,m\leqslant 10^5,1\leqslant a_i\leqslant 10^5\)。

Solution

鉴于 \(\mathcal{O}(nm)\) 的暴力模拟显然不能够通过此题，我们需要一种更高效的算法，以卡过这样的数据。

那么，我们自然而然就会想到 \(\texttt{dp}\) 的算法了。

既然是要求 \([l,n]\) 里面的不同的数的个数，那么我们不妨就设 \(dp_i\) 为 \([i,n]\) 里面不同的数的个数。那么，我们显然可以先推出这样一个式子：

\[dp_n=1 \]

很显然，\([n,n]\) 里面不同的数只有 \(a_n\) 一个，对吧？那么我们就从这个临界点开始从右往左进行 \(\texttt{dp}\)。

为了统计这个数字是否出现，我们需要开一个 \(vis\) 数组（这里 \(a_i\) 的值不算太大，如果很大的时候就需要用到 \(\texttt{map}\) 来实现了）。那么，这个题目的转化方程就很容易想到了：如果在 \(i\) 之后出现了一个数 \(j\)，使得 \(a_j=a_i\)，那么 \(dp_i\) 就保持和 \(dp_{i+1}\) 不变，否则，又出现了一个不同的数，那么 \(dp_i\) 相比较于 \(dp_{i+1}\) 就会多 \(1\)。

这样，转移方程就列完了：

\[dp_i=\begin{cases}1&i=n\\dp_{i+1}+1&vis_{a_i}=0,1\leqslant i<n\\dp_{i+1}&vis_{a_i}=1,1\leqslant i<n\end{cases} \]

我们拿样例 \(1\) 做个例子：

1 2 3 4 1 2 3 4 100000 99999

显然，\(dp_{10}=1\)。

更新 \(vis_{99999}=1\)，从 \(10\) 这个位置开始从右往左扫。

1. 扫到 \(9\) 这个位置，显然，后面并没有出现 \(100000\) 这个数，所以 \(dp_9=dp_{10}+1=2\)，并更新 \(vis_{100000}=1\)。

2. 扫到 \(8\) 这个位置，显然，后面并没有出现 \(4\) 这个数，所以 \(dp_8=dp_9+1=3\)，并更新 \(vis_4=1\)。

3. 扫到 \(7\) 这个位置，显然，后面并没有出现 \(3\) 这个数，所以 \(dp_7=dp_8+1=4\)，并更新 \(vis_3=1\)。

4. 扫到 \(6\) 这个位置，显然，后面并没有出现 \(2\) 这个数，所以 \(dp_6=dp_7+1=5\)，并更新 \(vis_2=1\)。

5. 扫到 \(5\) 这个位置，显然，后面并没有出现 \(1\) 这个数，所以 \(dp_5=dp_6+1=6\)，并更新 \(vis_1=1\)。

6. 扫到 \(4\) 这个位置，显然，位置 \(8\) 出现了 \(4\) 这个数，有 \(vis_4=1\)，所以 \(dp_4=dp_5=6\)。无须再更新 \(vis_4\) 了，下同。

7. 扫到 \(3\) 这个位置，显然，位置 \(7\) 出现了 \(3\) 这个数，有 \(vis_3=1\)，所以 \(dp_3=dp_4=6\)。

8. 扫到 \(2\) 这个位置，显然，位置 \(6\) 出现了 \(2\) 这个数，有 \(vis_2=1\)，所以 \(dp_2=dp_3=6\)。

9. 扫到 \(1\) 这个位置，显然，位置 \(5\) 出现了 \(1\) 这个数，有 \(vis_1=1\)，所以 \(dp_1=dp_2=6\)。

这样，所有的 \(dp\) 数组全部更新完了：

\[\begin{cases}dp_1=6\\dp_2=6\\dp_3=6\\dp_4=6\\dp_5=6\\dp_6=5\\dp_7=4\\dp_8=3\\dp_9=2\\dp_{10}=1\end{cases} \]

显然，这和样例所给出的答案完全相符。相信对这个 \(\texttt{dp}\) 的过程有了一定的加深理解。

那么，既然\(\mathcal{O}(n)\) 的 \(\texttt{dp}\) 预处理完了，剩下的询问就可以直接 \(\mathcal{O}(1)\) 轻松搞定了，这下就可以轻松通过此题了。

Code

本题只放 \(\texttt{dp}\) 过程的核心代码部分，其中：

• \(dp_i\) 表示 \([i,n]\) 内不同的数的个数。
• \(vis_i\) 表示 \(i\) 是否出现过，是的话 \(vis_i=1\)，否则 \(vis_i=0\)。

f[n] = 1;
vis[a[n]] = 1;
for(int i = n - 1; i >= 1; --i) {
	if(!vis[a[i]]) {
		f[i] = f[i + 1] + 1;
		vis[a[i]] = 1;
	} else	f[i] = f[i + 1];
}