洛谷 P3700 - [CQOI2017]小Q的表格（找性质+数论）

洛谷题面传送门

又是一道需要一些观察的数论 hot tea……

注意到题目中 \(b·f(a,a+b)=(a+b)·f(a,b)\) 这个柿子长得有点像求解 \(\gcd\) 的辗转相除法，因此考虑从这方面入手解决这道题，不难发现对于两个数 \((a,b)\)，通过辗转相除法咱们总可以得到 \(f(\gcd(a,b),\gcd(a,b))\) 处。那么我们考虑归纳求出 \(f(a,b)\) 是个什么东西，记 \(d=\gcd(a,b)\)，由于我们不管怎么辗转相除都只能除到 \(f(d,d)\) 处，因此我们保持 \(f(d,d)\)​​ 不变好了，那么 \(f(d,2d)=2f(d,d),f(d,3d)=3f(d,d),\cdots,f(d,kd)=kf(d,d)\)，而 \(f((k+1)d,kd)=(k+1)f(d,kd)=k(k+1)f(d,d)\)，\(f((2k+1)d,kd)=\dfrac{2k+1}{k+1}·f((k+1)d,kd)=(2k+1)kf(d,d)\)，如此归纳下去不难得出：

\[f(ad,bd)=abf(d,d)(a\perp b) \]

也就是说我们只用维护所有 \(f(d,d)\) 的变化即可。

注意到当我们改变某个 \(f(a,b)=x\) 时候，由于 \(f(a,b)=\dfrac{ab}{\gcd(a,b)^2}f(\gcd(a,b),\gcd(a,b))\)，因此改变 \(f(a,b)\) 会影响 \(f(\gcd(a,b),\gcd(a,b))\)，也进而影响其他满足 \(\gcd(x,y)=\gcd(a,b)\) 的 \(f(x,y)\) 的值。而对于 \(d\ne\gcd(a,b)\)，改变 \(f(a,b)\) 显然是不会影响 \(f(d,d)\) 的值的，因此改变 \(f(a,b)\) 只会影响一个 \(f(d,d)\) 的值。

接下来考虑求解答案。

\[\begin{aligned} ans&=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^k\dfrac{ij}{\gcd(i,j)^2}f(\gcd(i,j),\gcd(i,j))\\ &=\sum\limits_{d=1}^kf(d,d)\dfrac{1}{d^2}\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}id·jd[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum\limits_{d=1}^kf(d,d)\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}ij[\gcd(i,j)=1]\\ \end{aligned} \]

设

\[g(x)=\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^xij[\gcd(i,j)=1] \]

那么

\[ans=\sum\limits_{d=1}^kf(d,d)g(\lfloor\dfrac{k}{d}\rfloor) \]

我们先不考虑 \(g(x)\) 怎么求，假设我们已经求得了所有 \(g(x)\)，那么显然可以对 \(\lfloor\dfrac{k}{d}\rfloor\) 整除分块，那么我们需要求出 \(f(d,d)\) 的前缀和，又因为要修改，因此我们需要一个支持修改、查询前缀和的数据结构。有人肯定会想树状数组，不过对于此题而言，由于修改次数为 \(m\)，查询次数为 \(m\sqrt{n}\)，因此直接 BIT 复杂度为 \(m\sqrt{n}\log n\) 无法通过，因此考虑根号平衡的思想，众所周知分块可以实现 \(\mathcal O(\sqrt{n})\) 修改 \(\mathcal O(1)\) 查询前缀和，使用这样的数据结构维护一下即可 \(\mathcal O(m\sqrt{n})\) 查询。

最后考虑 \(g(x)\) 怎么求，直接整除分块是 \(n\sqrt{n}\) 的，无法通过。因此考虑不反演。首先证明一个 Lemma：

\[\sum\limits_{i=1}^xi[\gcd(i,x)=1]=\dfrac{x(\varphi(x)+\epsilon(x))}{2} \]

证明大概就 \(\forall i\le x\)，若 \(i\perp x\)，那么 \((x-i)\perp x\)，那么我们就对于所有 \(i\le x,i\perp x\)，将 \(i\) 与 \(x-i\) 配对形成一个 \(x\) 即可，这样共可以配成 \(\dfrac{\varphi(x)}{2}\) 对，然后对 \(x=1\) 和 \(x=2\) 特判一下即可。

又这个引理可知

\[\begin{aligned} g(x)&=g(x-1)+2x\sum\limits_{i=1}^xi[\gcd(i,x)=1]-\epsilon(x)\\ &=g(x-1)+x^2(\varphi(x)+\epsilon(x))-\epsilon(x)\\ &=g(x-1)+x^2\varphi(x) \end{aligned} \]

因此

\[g(x)=\sum\limits_{i=1}^xi^2\varphi(i) \]

线筛算算即可。

const int MAXN=4e6;
const int BLK=2000;
const int MOD=1e9+7;
void pls(int &x,int v){((x+=v)>=MOD)&&(x-=MOD);}
int n,qu,phi[MAXN+5],pr[MAXN/8+5],prcnt=0,s[MAXN+5];
bitset<MAXN+5> vis;
void sieve(int n){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) phi[i]=i-1,pr[++prcnt]=i;
		for(int j=1;j<=prcnt&&pr[j]*i<=n;j++){
			vis[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0){phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;}
			else phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+1ll*i*i%MOD*phi[i])%MOD;
}
int L[BLK+5],R[BLK+5],bel[MAXN+5],blk_cnt,blk_sz;
int sum_blk[BLK+5],sum_tot[MAXN+5];
void add(int x,int v){
	for(int i=bel[x];i<=blk_cnt;i++) pls(sum_blk[i],v);
	for(int i=x;i<=R[bel[x]];i++) pls(sum_tot[i],v);
}
int ask(int x){if(!x) return 0;return (sum_blk[bel[x]-1]+sum_tot[x])%MOD;}
int f[MAXN+5];
int main(){
	scanf("%d%d",&qu,&n);sieve(n);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",s[i]);
	blk_sz=(int)sqrt(n);blk_cnt=(n-1)/blk_sz+1;
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=blk_cnt;i++){
		L[i]=(i-1)*blk_sz+1;R[i]=min(i*blk_sz,n);int sum0=0;
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++){
			bel[j]=i;sum0=(sum0+1ll*j*j)%MOD;
			sum_tot[j]=sum0;f[j]=1ll*j*j%MOD;
//			printf("%d %d\n",j,sum0);
		} pls(sum,sum0);sum_blk[i]=sum;
//		printf("%d %d\n",i,sum);
	}
	while(qu--){
		int a,b,k;ll v;scanf("%d%d%lld%d",&a,&b,&v,&k);
		int d=__gcd(a,b);add(d,(MOD-f[d])%MOD);
		f[d]=(v/(1ll*a*b/d/d))%MOD;add(d,f[d]);
		int res=0;
		for(int l=1,r;l<=k;l=r+1){
			r=k/(k/l);
//			printf("%d %d %d\n",l,r,(ask(r)-ask(l-1)+MOD)%MOD);
			res=(res+1ll*(ask(r)-ask(l-1)+MOD)*s[k/l])%MOD;
		} printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}