各知识点运用技巧总结

动态规划板块

背包

　　有负体积的时候可以把数组下标平移一段，01背包压维时，正的倒着跑访问的是上一层的，负的正着跑也访问的是上一层的。

　　二进制拆包：多重背包问题枚举for(j=1;j<=num;(j<<=1))之后当成01背包倒序枚举V

期望

　　如果转化为建图模型，对于边(u,v)有的题目是从v->u，这样是由u的后继推u

树形

　　换根dfs的时候一定要把图画出来，比如对于节点u，其父亲为根的情况已经被处理，那么就以fa为根，画至少3个儿子（包括u），然后u也多画几个儿子，一定要把情况枚举完。

　　时刻注意状态转移时for循环是正序还是倒序。

　　边界一定要清楚，把i,j能跑到的地方都看一下有没有意义。

区间

状压

记忆化

线性

数学板块

数论

　　有的gcd的题目是可以打表找规律的。

　　有的gcd的题目是可以大概感性证明一下就开始写的。

　　

组合数

递推&矩阵乘法

图论板块

最短路

　　类似于华容道，要会表达状态，建模过程：表达状态$->$找到状态间的代价$->$建图。

　　最短路可以记录起点，如找集合V内两两之间最短路的最小值，可以记录起点的颜色，在最短路算法中转移，正反跑两边，把最短路连接起来。

　　如果从多个起点开始跑，那么dist的意义就是到这些点最短路的最小值。

　　Floyd判负环：dist[i][i]初始为0，跑完之后<0则有负环。

　　spfa在队列中保存的更新信息的意义是"这个点被更新过，因而有可能通过与它连接的边更新这些边的其它端点"。直到队列为空，此局面表示"没有一个结点可能更新其它的结点"。

　　spfa可以转移有后效性的带环的图上DP

　　模意义最短路dist[i][j]表示起点到i，在%p意义下为j，所用的最小代价。

强连通

　　tarjan+toposort+dp懂得。

双联通

差分约束

　　有的题统计个数，可能出现SCC，且每个SCC之间的限制不会影响SCC内部的限制，那么答案就是每个SCC内的最长路+颜色数。

2-SAT

基环树

欧拉回路

网络流

生成树

拓扑排序

LCA

　　有的题可以转化为LCA问题，类似于跳跳棋的神题。

　　

数据结构板块

并查集

　　并查集缩边乱搞。

栈和队列（单调栈和单调队列）

　　单调栈：一般用来找向左向右第一个比当前元素大（小）的值，一般在弹栈的时候更新，许多题目都是在弹栈的时候用栈顶元素的信息更新下面的，或者用栈顶元素的信息更新加入的，从而达到统计的目的，如最大子矩阵，每次弹栈时，如果栈顶大于当前高度，那么比第一个比栈顶小的就是第一个比当前高度小的，我们用栈顶更新当前高度再入栈。还有的题目用单调栈统计信息，总之单调栈的题目基本都是围绕左（右）边第一个比当前元素大（小）的元素，有时还有他们之间的距离在一起搞事。

　　单调队列：先弹队首，再弹队尾，再入队，（再转移）。

堆（可并堆）

　　堆的删除：q1为有的元素,q2为要删除的元素，控制q2不为空且q1的堆顶等于q2的堆顶，把q1,q2的堆顶一起弹掉，记得判断q1是否为空

　　堆可以用来维护可反悔的贪心，一般要推一下式子，考虑如果开始对i进行了处理，并认为它是最优解，那么如果后面j可以同时消除i，j的影响，那么显然此时有更优解，那么就用当前的代价减去之间的最优解，得到中间的差值就相当于反悔了一步，重新选择。

线段树（权值线段树，主席树）

　　线段树的区间维护能力还是很强的，权值线段树一般用来解决第k大问题，就是线段树二分，线段树可以套很多东西。

　　套堆维护带删除的区间最值，不需要pushup和pushdown，把元素扔进去自动就更新区间信息了。

　　套权值线段树维护区间k大值。

　　还有套路就是开K棵线段树维护区间K元素的信息。

　　还有一些不同于区间和，区间最值的东西，比如颜色数，最长单调子串，或最长0串等，只考虑把两个区间的信息合并成一个这一步即可。

　　比如维护最长上升子串，我们可以维护从l开始的子串长度，从r往前的子串长度，以及区间[l,r]的子串长度，然后用锁区间线段树的写法query时直接返回结构体，跨越smid时重载一下运算符合并一下就行了。

树状数组

　　学会对各种东西建BIT，可以是值域，可以是区间，还有对某个权值，如前缀和建BIT的。

　　

线段树合并

　　遇到动态加边时，可以用并查集维护根节点，把其中一棵树的根上的线段树合并到另一棵上并以之为新根，并查集要定向merge。

　　一般想到每个点开vector合并的东西都可以拿线段树合并写。

平衡树

Link-Cut tree

树链剖分

算法板块

迪法师

　　对于一棵树，有的题目可以把每个dep的点用vector存起来然后按照dep跑dfs，一般题目意思比较明显。

　　一定要理解统计语句放在dfs前后的区别。

　　

 

博法师

　　跑棋盘类的题目，比如一个点到达的是一个矩形之类的，可以用对每一行用并查集把终点所在列缩起来，强制让每个点被遍历一次。

　　getid(x,y)=(x-1)*m+y，懂得。

　　getid(x,y,k)=((x-1)*m+y)*4+k)，加入了一个点和它四周的某一点的状态，相当于分层图。

　　

二分

模拟

贪心

　　靠智商吧QWQ。

　　有的题可以按二进制位贪心

A*

启发式合并&dsu on tree

字符串

hash

　　$SH[i]=(SH[i-1]*base\bmod p+s[i])\bmod p$

　　取出$[l,r]的hash$值：$hash[l,r]=(SH[r]-SH[l]*base^{r-l+1}+p)\bmod p$

　　如果维护集合且带删除的，可以个集合中的点赋随机值异或起来，这样就能删了。

　　hsah值和排序常连用。

kmp

trie

　　Trie上可以跑DP。

　　Trie可以解决许多字符串前缀的问题。

　　Trie解决异或最大值。

STL

vector

　　众所周知，vector+二分可以处理很多东西，，，vector<int>().swap(a)(a为vector)可以有效节省空间，真的有效。

set&multiset

　　可以重载运算符，自带二分查找且更快，对于维护有修改和删除的信息，或者第k大的信息，一般用这东西维护，删除set可以支持s.erase(val),s.erase(iter),set.erase(begin,end），multiset还是用s.erase(find(val))或者s.erase(iter)吧。

　　有的时候要在收尾加inf和-inf来判边界

map

　　可以用来节省空间，比如map<int,各种东西>a，相当于开了任意多个（各种东西），也可以时stl。map还可以看成一个pair，定义指针it：typedef<map<int,各种东西> >：：iterator it，那么it->first就是前面的int，it->second就是后面的（各种东西），而且用it从a.begin(),到a.end()可以遍历当前map的所有元素，至于按照啥顺序，，，蒟蒻不知道，也不会有这么鬼畜的题目吧。。