Tarjan求强连通分量 缩点
强连通分量的定义：
在一张有向图中,如果两个点u,v之间能相互到达则称这两个点u,v是强连通的，在这个基础上如果有向图G中的任意两个顶点都强连通，那么称图G是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图称为强连通分量。极大强连通子图就是强连通子图中最大的那个，它不被其他强连通子图所包括。
概念挺多，特别混乱的感觉。理一下...
一个强连通图中的每一对顶点都必须强连通。
一个强连通图不叫做强连通分量，只叫做强连通图。
一个强连通子图G若为强连通分量那么必然是一个最大的强连通子图，也就是原图中不存在另一个图G'，使得G是G'的真子集。
举个例子:
在图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达，子图{1,3,4}是一个强连通子图并不是强连通分量，因为它被子图{1,2,3,4}所包含，所以只是一个强连通子图。
强连通分量的应用：
缩点：在一个有向图中将所有的强连通分量都缩成一个点的话，原图就会变成一个DAG(有向无环图)，因为DAG有一些比较好的性质，所以会给解题带来很大的方便。
举个例子：
原图：
找出图中所有的强连通分量：
缩完点之后：
Tarjan 算法：
Tarjan算法以dfs的方式实现，每个强连通分量为搜索树中的一颗子树，搜索的时候，把当前搜索树中为处理的结点加入一个栈，回溯时可以判断到栈中的结点是否构成一个强连通分量。
这个书面语不懂也罢，接着往下看吧。
先介绍一下搜索时会遇到的四种边吧：
树枝边：dfs时经过的边。
前向边：与dfs方向一致，由某个结点指向其子孙的边。
后向边：与dfs方向相反，有某个结点指向其祖先的边。
横叉边：由某个结点指向搜索树种另一子树的边。
dfn[u]: 表示结点u的搜索次序编号，也就是时间戳.
low[u]: 表示结点u或u的子树能够回溯到的最早的栈中结点的时间戳(dfn)。
如果(u,v)为树枝边，u为v的父结点：low[u]=min(low[u],low[v]);
如果(u,v)为后向边或者指向栈中结点的横叉边:low[u]=min(low[u],dfn[v])；
指向栈中的结点的横叉边的原因是：一个点只能属于一个强连通分量，如果不是指向栈中结点的横叉边，那么横叉边的另一结点v一定在此之前已经属于了另一个强连通分量。
当结点u的搜索过程结束之后,如果dfn[u]=low[u]，那么以u为根的搜索子树上所有还在栈中的结点（即u和栈中在u之后的结点）是一个强连通分量，即可推栈。
因为当dfn[u]=low[u]时表示u即u的子孙结点最早能够到达的点便是结点u，那么u就是它的子孙中的最高祖先。
算法演示见博客：https://www.cnblogs.com/five20/p/7594239.html
例题：
#10091. 「一本通 3.5 例 1」受欢迎的牛: https://loj.ac/problem/10091
解题思路：
由题意可得，一头牛u若为受欢迎的牛，那么他必然受到其他所有牛的喜欢，由于喜欢可以传递，那么意味着从其他的任一头牛出发都能到达牛u，也可得到一个环上的牛都是互相喜欢的，
所以把每个强连通子图找出来，缩点，然后整个图就变成了DAG，又因为一头牛要受到其他所有牛的喜欢，那么它不能喜欢除了自己这个联通块外的牛(图中已经不存在环了),所以这时只需要
统计一下出度为0的牛的个数，或者直接建反向边，改为统计入度为0的牛的个数。
最后注意缩点后连通块数目多于一个的情况，此时因为联通快多于1个且互不连通，导致没有牛可以收到其他所有牛的喜欢了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f #define ll long long #define maxn 50009 inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();} return x*f; } int head[maxn],belong[maxn],low[maxn],dfn[maxn],in[maxn]; struct edge { int to,nxt; }p[maxn]; bool vis[maxn]; stack<int> s; int n,m,k,cnt,tot,now,ans,id,sum; void add(int x,int y) { ++cnt,p[cnt].to=y,p[cnt].nxt=head[x],head[x]=cnt; } void Tarjan(int u) { dfn[u]=++id; low[u]=dfn[u]; s.push(u); vis[u]=1; for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; if(!dfn[v]) { Tarjan(v); low[u]=min(low[u],low[v]); } else if(!belong[v]) { low[u]=min(low[u],dfn[v]); } } if(dfn[u]==low[u]) { tot++; while(1) { int v=s.top(); belong[v]=tot; s.pop(); vis[v]=0; if(u==v) break; } } } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); add(y,x);//建反边，可以将统计连通块的出度转化为统计连通块的入度 } for(int i=1;i<=n;i++) { if(!dfn[i]) Tarjan(i); } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=head[i];j;j=p[j].nxt) { int v=p[j].to; if(belong[i]!=belong[v]) in[belong[v]]++; } for(int i=1;i<=tot;i++) if(in[i]==0) { now=i; sum++; } if(sum!=1) puts("0"); else { sum=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(belong[i]==now) sum++; printf("%d\n",sum); } // fclose(stdin); // fclose(stdout); return 0; } /* 6 8 1 2 1 3 2 4 3 4 3 5 4 1 4 6 5 6 */
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define INF 0x3f3f3f3f #define maxn 10009 #define maxm 50009 inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();} return x*f; } int head[maxn],s[maxn],belong[maxn],dfn[maxn],low[maxn],in[maxn]; int n,m,k,ans,tot,cnt,sum,id,top,block; struct edge { int to,nxt; }p[maxm]; void add(int x,int y) { p[++cnt]={y,head[x]},head[x]=cnt; } void Tarjan(int u) { dfn[u]=low[u]=++id; s[++top]=u; for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; if(!dfn[v]) { Tarjan(v); low[u]=min(low[u],low[v]); } else if(!belong[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); } if(dfn[u]==low[u]) { ++block; while(1) { belong[s[top]]=block; if(s[top]==u) break; --top; } --top; } } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); add(y,x); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i); /* for(int i=1;i<=n;i++) cout<<belong[i]<<" "; cout<<endl;*/ for(int u=1;u<=n;u++) for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; if(belong[u]!=belong[v]) in[belong[v]]++; } int now; for(int i=1;i<=block;i++) if(in[i]==0) ans++,now=i; if(ans!=1) { puts("0"); return 0; } ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(belong[i]==now) ++ans; printf("%d\n",ans); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }
