P8474 「GLR-R3」立春 题解

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思路

我们先枚举一下 \(n\le4\) 的情况：

当 \(n=1\) 时，逆序对数量的情况：

\(\tau(\sigma)=0\) 有 \(1\) 种情况。

---

当 \(n=2\) 时：

\(\tau(\sigma)=0\) 有 \(1\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=1\) 有 \(1\) 种情况。

---

当 \(n=3\) 时：

\(\tau(\sigma)=0\) 有 \(1\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=1\) 有 \(2\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=2\) 有 \(2\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=3\) 有 \(1\) 种情况。

---

当 \(n=4\) 时：

\(\tau(\sigma)=0\) 有 \(1\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=1\) 有 \(3\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=2\) 有 \(5\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=3\) 有 \(6\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=4\) 有 \(5\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=5\) 有 \(3\) 种情况。

\(\tau(\sigma)=6\) 有 \(1\) 种情况。

---

根据上面的列表，可以算出

当 \(n=1\) 时，答案为 \(1\)。

当 \(n=2\) 时，答案为 \(3\)。

当 \(n=3\) 时，答案为 \(21\)。

当 \(n=4\) 时，答案为 \(315\)。

这时，再经过简单的观察，不难发现：

\(1\times3=3\)，\(3\times7=21\)，\(21\times15=315\)。

\(3\times2+1=7\)，\(7\times2+1=15\)。

这时即可得出规律，即 \(ans_n=ans_{n-1}\times b_{i-1}\)。

其中 \(b_i=b_{i-1}\times2+1\)，\(b_1=3\)，\(ans_1=1\)。递推即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,now,tmp;
signed main() {
	cin>>n;
	now=1,tmp=3;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		now*=tmp;
		now%=mod;
		tmp=tmp*2+1;
		tmp%=mod;
	}
	cout<<now;
	return 0;
}