20251018 杂题 总结

DP优化

P2224 [HNOI2001] 产品加工

首先是暴力DP，社fi,j1,j2，第i个物品，A机器j1事件，B机器j2事件，然后直接转移就行了，但是n^3的状态，孬

考虑降维，bool的内容可以改为数值，社fij表示第i个任务，A机器做了j时间B机器的最小时间，可以转移了

空间炸就滚动数组，但是时间会炸。

但是我们发现状态是递增的，可以将枚举上界改为记录上界，小于下界的都可以不用管了，每次上界最多更新就是max(t1,t3)

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CF1870E Another MEX Problem

给你一个序列 a，让你选出一些不交的子串，使得它们的 MEX 的异或和最大。

有一个套路是异或记录可行性，而不是最优化，题解说的。

社fij表示上一个右端点位置小于i时，答案是否可以是j，直接枚举转移点转移即可，但是MEX不好算，复杂度是n^3的，要O(n)转移

但是我们发现有效的转移点区间极少，可以记录这些有效转移点，只从它们转移

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P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠

就是那种一道橙题使劲加数据范围然后甩你几个性质让你做的。

考虑从大到小枚举b

设 fi,j​ 为 选了j∗2^i 重量的最大价值， 实际上 2^i 以下的重量被忽略了。
考虑转移，同为 2^i 重量的物品间可以相互转移: 当前是第x个数：

类似一个背包套背包。

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luogu模拟赛

T1

直接map维护出现次数和偏移即可

T2

首先分讨，发现钦定了一个节点为A1之后，后面的的点必须选与他同深度的，浅了显然不合法，深了你永远取不到交集。
预处理mxdepi表示i子树最大深度。
发现选的所有点mxdepi最小值一定是mxdepA1，最大值不限。

然后就是一个排列数了，随便你怎么计数就行

T3

树套树二分3log（bushi）

考虑线段树，维护ji表示点i的最小可达右端点，修改就是重置一个区间的最小可达右端点。

然后维护查询，考虑查询x,t，可选右端点就是max(y, j_i)，代价就是p_{max(y,j_i)} - p_i。
分类讨论

若 j_i < y，代价为 p_y - p_i，该类的最优是 p_y - max(p_i)（在满足 j_i<y 的 i 中取 p_i 的最大值）。

若 j_i >= y，代价为 p_{j_i} - p_i，该类的最优是在满足 j_i>=y 的 i 中取 min(p_{j_i} - p_i)

我们直接维护maxji minji maxpi min(ji - pi)，类似于吉斯基的东西，保证checkmin，checkmax均摊复杂度是log。

具体地，区间修改时，类型 1 事件 [x,y] 会把区间内的 j_i 更新为 max(j_i, y+1)（因为所有 (i, j) 且 x<=i<j<=y 被删掉）

对于查询，分讨后代价直接取能取到的右面最小值计算即可。