20250627 杂题/好题

P5537 【XR-3】系统设计

小 X 需要你设计一个系统。

这个系统首先需要输入一棵 \(n\) 个点的有根树和一个长度为 \(m\) 的序列 \(a\)，接下来需要实现 \(q\) 个操作。

操作分两种：

1. 1 x l r 表示设定起点为有根树的节点 \(x\)，接下来依次遍历 \(l \sim r\)。当遍历到 \(i\) 时，从当前节点走向它的编号第 \(a_i\) 小的儿子。如果某一时刻当前节点的儿子个数小于 \(a_i\)，或者已经遍历完 \(l \sim r\)，则在这个点停住，并输出这个点的编号，同时停止遍历。
2. 2 t k 表示将序列中第 \(t\) 个数 \(a_t\) 修改为 \(k\)。
   第十个操作为 1 1 1 5，即 \(1 \rightarrow 5 \rightarrow 6\)，因此答案为 \(6\)。

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这是真的 好 题。

哈希最近很常见呐
观察性质：

• a序列会改变，但树的形态不会改变

• 给定的序列固定，其遍历的节点也随之固定

• 最终有效的（让遍历节点更改的）序列一定是 l∼r 的一个前缀。且最终答案的前缀序列的任意前缀一定合法，其余前缀不合法。也就是说具有单调性。

• 从 x 出发可以看作从根节点 root 走到 x 在接着走。

于是可以预处理出树上任意遍历前缀。接着用二分 l∼r 的前缀，并加上 root∼x 这段路径，看是否在之前的预处理中出现过。那么这个可以用 Hash 进行快速比较。

哈希可以用树状数组

Umap略慢

有 n 堆石子。除了第一堆外，每堆石子个数都不少于前一堆的石子个数。两人轮流操作。每次操作可以从一堆石子中移走任意多颗石子，但是要保证操作后仍然满足初始时的条件。没有石子可移动的人就输掉了游戏。问先手是否必胜。

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设a[i]表示第i堆石子的个数，c[i]表示a[i]-a[i-1],则我们每堆可以拿的石子数即为c[i]。当我们在第i堆拿了x个时，c[i]变成了c[i]-x，c[i+1]变成了c[i+1]+x，相当于我们把第i堆中可拿的石子转移到了i+1堆，由此我们可以把此题转化为一道反着的阶梯nim游戏。

阶梯nim游戏结论：

阶梯nim的游戏结果与只看奇数堆的石子数的普通nim结果相同。

假设我先手，那么我可以按照必胜策略把奇数堆中的石子转移到偶数堆，当对方拿的时候我们分情况讨论：

对方拿奇数堆中的石子到偶数堆，相当于进行对于奇数堆的普通nim，我们继续按照必胜策略拿奇数堆中的石子；

对方把偶数堆的石子拿到奇数堆，则我们可以把这部分石子继续向下拿，对于奇数堆相当于局势没有变动。

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小 A 和小 B 又想到了一个新的游戏。

这个游戏是在一个 1×n 的棋盘上进行的，棋盘上有 k 个棋子，一半是黑色，一半是白色。

最左边是白色棋子，最右边是黑色棋子，相邻的棋子颜色不同。

小 A 可以移动白色棋子，小 B 可以移动黑色的棋子，其中白色不能往左，黑色不能往右。他们每次操作可以移动 1 到 d 个棋子。

每当移动某一个棋子时，这个棋子不能跨越两边的棋子，当然也不可以出界。当谁不可以操作时，谁就失败了。

小 A 和小 B 轮流操作，现在小 A 先移动，有多少种初始棋子的布局会使他胜利呢？

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不难发现，这就是nimK

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把 n 堆石子用二进制数表示，统计二进制数上 1 的个数，若每一位上 1 的个数 num1​mod(k+1) 全部为 0，则先手必胜，否则先手必败。

证明还是类似于 Nim 游戏：

所有物品都被取光当然是一个必败局面，即全为 0。
任意一个先手必败状态，一次操作后必然会到达必胜状态（因为游戏是交替进行的。）在某一次移动中，至少有一堆被改变，也就是说至少有一个二进制位被改变。因为最多动 k 堆，所以对于任意一个二进制位，1 的个数最多改变 k。而由于原先的总数为 k+1 的整数倍，那么改变后必然不可能是 k+1 的整数倍。所以在必败状态下必然能转移到必胜状态。
而对于先手必胜，总有一种操作使其走到必败状态，即证明有一种方法让第 i 位回到 k+1 的整数倍。有一个比较显然的性质，对于那些已经改变的 m 堆，当前位可以自由选择 1 或 0。我们设除去已经更改的 m 堆，剩下堆 i 位上 1 的总和为 sum。考虑分类讨论：
    sum≤k−m，此时我们可以将堆上的 1 全部拿掉，让后让拿 m 堆得 i 位全部为 0。
    sum>k−m，此时我们在之前改变的 m 堆中选择 k+1−sum 堆，将他们的第 i 位设置成 1。剩下的设置成 0。由于 k+1−sum<k+1−(k−m)<m+1,也就是说 k+1−sum≤m，故这是可以达到的。

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有 n 枚石子。两位玩家定了如下规则进行游戏：

Mirko 先取一次，Slavko 再取一次，然后 Mirko 再取一次，两人轮流取石子，以此类推；
Mirko 在第一次取石子时可以取走任意多个；
接下来，每次至少要取走一个石子，最多取走上一次取的数量的 2 倍。当然，玩家取走的数量必须不大于目前场上剩余的石子数量。
取走最后一块石子的玩家获胜。

双方都以最优策略取石子。Mirko 想知道，自己第一次至少要取走几颗石子最终才能够获胜。

没写完，明天写