2025/5/1 省队集训|容斥

当然，以下是优化排版和数学公式的版本，便于理解与阅读：

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[FJOI2017] 矩阵填数

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3813

题目描述

给定一个 \(h \times w\) 的矩阵（编号从 \(1 \sim h\) 行、\(1 \sim w\) 列），每个格子填入 \(1 \sim m\) 中的某个数。

有 \(n\) 个限制，每个限制是一个子矩阵及其最大值 \(v\)，要求最终填数方案中该子矩阵的最大值恰为 \(v\)。

问一共有多少种填数方案，满足所有限制条件。

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解题思路

一、总体策略

• 每个格子合法值的范围是：
  \[[1, \min(\text{包含该格子的所有限制中的 } v_i, m)] \]

• 不同值域的点之间互不影响，可以分开统计后再相乘。

二、求每个值域的方案数（容斥原理）

对于一个值域为 \(k\) 的区域集合 \(S_k\)，总填法是：

\[k^{|S_k|} \]

但这会多算一些不合法的情况（即某些限制矩阵中最大值不是 \(k\) 而更小）。

假设第 \(i\) 个限制子矩阵的最大值为 \(k\)，它的点集记为 \(T_{k,i}\)。

对这些矩阵执行容斥：

• 先减去：第1个矩阵不满足最大值为 \(k\) 的填法数：
  \[(k-1)^{|T_{k,1}|} \cdot k^{|S_k| - |T_{k,1}|} \]

• 再加上两个不满足的交集……
• 直到所有集合组合处理完。

最终所有满足值域为 \(k\) 的合法方案数，乘起来即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int maxn = 15, maxm = 1050;
#define int long long
constexpr int mod = 1e9+7;

namespace MATH {
	inline int pow(int a, int b) {
		int res = 1;
		while (b) {
			if (b & 1) res = res * a % mod;
			a = a * a % mod;
			b >>= 1;
		}
		return res;
	}
}

int n, m, h, w;
int s[maxm], u[maxm];
int siz[maxm];
#define y1 s_e_v_e

struct Matrix {
	int x, y, x1, y1;
	int v;
	void read() {
		cin >> x >> y >> x1 >> y1 >> v;
	}
	bool isclean() const {
		return (x > x1) || (y > y1);
	}
	int getS() const {
		if (isclean()) return 0;
		return (x1 - x + 1) * (y1 - y + 1);
	}
	void operator &= (const Matrix& a) {
		x = max(x, a.x); y = max(y, a.y);
		x1 = min(x1, a.x1); y1 = min(y1, a.y1);
	}
	bool operator < (const Matrix& X) const {
		return v < X.v;
	}
} r[maxn];

signed main() {
	for (int i = 1; i < 1024; i++) {
		siz[i] = siz[i >> 1] + (i & 1);
	}
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	
	int T;
	cin >> T;
	while (T-- > 0) {
		cin >> h >> w >> m >> n;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			r[i].read();
		}
		sort(r, r + n);
		
		int N = (1 << n) - 1;
		
		for (int i = 1; i <= N; i++) { //求并集
			Matrix t = {1, 1, h, w, 0};
			for (int p = i, j = 0; p; p >>= 1, j++) {
				if (p & 1) {
					t &= r[j];
					if (t.isclean()) {
						break;
					}
				}
			}
			s[i] = t.getS();
		}
		
		for (int i = 1; i <= N; i++) {//求交集
			u[i] = 0;
			for (int j = i; j; j = (j - 1) & i) {
				if (siz[j] & 1) u[i] += s[j]; //容斥
				else u[i] -= s[j];
			}
		}
		
		int ns = 0, ls = 0; //目前的，上一次的
		int res = 1;
		
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			ns |= (1 << i);
			if (i + 1 < n && r[i].v == r[i + 1].v) continue;
			
			int total = u[ns | ls] - u[ls];
			int st = total;
			int ret = MATH::pow(r[i].v, total);
			
			for (int k = ns; k; k = (k - 1) & ns) {
				int part = u[k | ls] - u[ls]; //这个就是T
				int del = MATH::pow(r[i].v - 1, part) * MATH::pow(r[i].v, st - part) % mod;
				if (siz[k] % 2) ret = (ret + mod - del) % mod; //容斥
				else ret = (ret + del) % mod;
			}
			res = res * ret % mod;
			ls |= ns;
			ns = 0;
		}
		
		cout << res * MATH::pow(m, h * w - u[N]) % mod << '\n';
		
		for (int i = 0; i <= N; i++) {
			u[i] = 0;
		}
	}
	return 0;
}

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