START:
2021-08-07
09:39:32
相关题目链接：
https://www.luogu.com.cn/problem/P1082
https://www.acwing.com/problem/content/879/
介绍：
为了介绍扩展欧几里得，我们先引入一个定理：
贝祖定理：
d=(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=d
（因为d是a和b的最大公因数，所以ax+by=dk，也就是说ax+by一定是d的倍数，所以存在x,y使得ax+by=d）
贝祖定理其中应用之一：如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1
再看一下欧几里得算法：
求a和b的最大公约数:
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
但是对于ax+by=d,我们还得知道式子成立的时候x,y的值是多少，扩展欧几里得算法就是解决这个问题的。
扩展欧几里得算法是递归算法，我们算exgcd(a,b,x,y)，就可以递归到exgcd(b,a%b,x,y)的状态，然后更新x,y
我们先写出最后状态的结果，就是exgcd(a,b,x,y)中b==0的时候，我们可以return a;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
}
在这里我们写的扩张欧几里得函数，传入的参数有四个，a,b,x,y,其中x,y要使用引用，时刻改变x,y的值，当b==0的时候，我们ax+by=gcd(a,b)====>ax=a,所以x=1,y=0 是其中一个解，所以x=1,y=0。
在b!=0的时候，我们每次都可以递归exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
比如exgcd(a,b,x,y)，递归到exgcd(b,a%b,x,y)
我们展开其中实现的过程：
exgcd(a,b,x,y)====>exgcd(b,a%b,x,y)
exgcd(a,b,x,y): ax+by=gcd(a,b)=d
exgcd(b,a%b,x1,y1): bx1+(a%b)y1=gcd(b,a%b)=d===>因为a%b=a-(a/b)*b
所以上式等于 ay1+b(x1-[a/b]*y1)=d
我们对比一下前后两个状态的x,y
x=y1
y=x1-(a/b)*y1
所以前后两个状态的x,y关系就清楚了
上代码！！
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int tmp=y;
y=x-a/b*y;
x=tmp;
return d;
}
END:
2021-08-07
10:29:47
