BZOJ 3097 Hash Killer I

3097: Hash Killer I

Description

这天天气不错,hzhwcmhf神犇给VFleaKing出了一道题: 给你一个长度为N的字符串S,求有多少个不同的长度为L的子串。 子串的定义是S[l]、S[l + 1]、... S[r]这样连续的一段。 两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing一看觉得这不是Hash的裸题么!于是果断写了哈希 + 排序。 而hzhwcmhf神犇心里自然知道,这题就是后缀数组的height中 < L的个数 + 1,就是后缀自动机上代表的长度区间包含L的结点个数,就是后缀树深度为L的结点的数量。 但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing使用的是字典序哈希,其代码大致如下: u64 val = 0; for (int i = 0; i < l; i++) val = val * base + s[i] - 'a'; u64是无符号int64,范围是[0, 2^64)。VFleaKing让val自然溢出。 base是一个常量,VFleaKing会根据心情决定其值。 VFleaKing还求出来了base ^ l,即base的l次方,这样就能方便地求出所有长度为L的子串的哈希值。 然后VFleaKing给哈希值排序,去重,求出有多少个不同的哈希值,把这个数作为结果。 其算法的C++代码如下:

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base) { u64 hash_pow_l = 1; for (int i = 1; i <= l; i++)   hash_pow_l *= base;

int li_n = 0; static u64 li[MaxN];

u64 val = 0; for (int i = 0; i < l; i++)   val = val * base + s[i] - 'a'; li[li_n++] = val; for (int i = l; i < n; i++) {   val = val * base + s[i] - 'a';   val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;   li[li_n++] = val; }

sort(li, li + li_n); li_n = unique(li, li + li_n) - li; return li_n; }

hzhwcmhf当然知道怎么卡啦!但是他想考考你。

Input

没有输入。

Output

你需要输出一组数据使得VFleaKing的代码WA掉。我们会使用Special Judge检查你的结果的正确性。 输出文件共两行。 第一行两个用空格隔开的数n、l。 第二行是一个长度为n的字符串。只能包含'a'~'z'。 需要保证1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n, 不符合以上格式会WA。 不要有多余字符,很可能导致你WA。

 

Sample Input

没有

Sample Output

8 4 buaabuaa (当然这个输出是会WA的)

HINT

orz 波兰人 & fotile96 & sillycross

Source

VFleaKing & hzhwcmhf


  这是一个很强大的系列。

  3097: Hash Killer I  base看心情,unsigned long long自然溢出  Submit: 951  Solved: 356

  3098: Hash Killer II  base看心情,MOD1000000007  Submit: 1597  Solved: 838

  3099: Hash Killer III  base看心情,MOD双组随机质数  Submit: 605  Solved: 0

  昨天做了3098,当时直接把N、L开大,输出100000个随机数,就卡了过去。本人坚信与3097是相似的,于是重复交了一波,全部WA了。本人表示很伤心。

  最后发现(以下来自http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/43112899):  

  非常神奇的构造题。

  首先明白两点:

    1.卡hash的关键在于构造两个不同的串对应的hash值相同。

    2.爆u64相当于对2^64这个数取模。

  如果base是偶数,那么a.........aaa(>64个a)与ba.......aa(a的数量为前面那么串a的数量-1),这两个串长度相同,hash值相同,显然串是不同的,这样就卡掉了。

  如果base是奇数,就比较麻烦了。

  看vfk的做法吧:

  如果base是奇数的话,现在只考虑a、b两个字母。

  a \ b表示a能整除b。(orz 具体数学)

  设数学上的函数not(S)表示把字符串S中每个位置的'a'变成'b',把'b'变成'a'后形成的字符串。比如not("ababaa") = "bababb"

  strA . strB代表字符串串联。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"

  |str|表示字符串str的长度。

  设字符串序列{orzstr[i]}orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])

  那么|orzstr[i]| = |orzstr[i - 1]| * 2。显然这是等比数列,得到:|orzstr[i]| = |orzstr[1]| . 2 ^ (i - 1) = 2 ^ (i - 1)

  设hash(str)为str的哈希值。

  则:

  hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))

                         = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))

  hash(not(orzstr[i])) = hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])

  两式相减:

  hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

  = (hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))) - (hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1]))

  = (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

  这让我们发现,hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串strA, strB使得

  hash(strA) % 2^64 = hash(strB) % 2^64

  相当与

  2^64 \ hash(strA) - hash(strB)

  设数列{f[i]},f[i] = hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

  这样就有:

  f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

  还是有点不爽啊……我们再设数列{g[i]},g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1

  于是能写成:

  f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]

  则f[i] = f[1] * g[1] * g[2] * ... * g[i - 1]

  然后发现一个神奇的事情?

  base是奇数,则base的任意正整数次方也一定是奇数。所以对于任意的i必有g[i]为偶数,所以2 ^ (i - 1) \ f[i]

  问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使2 ^ 64 \ f[i],至少得让i = 65……然后发现|orzstr[65]|是个天文数字。

  发现我们刚才那样分析太坑爹了……

  i > 1时有:

  g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一个偶数

  而g[1]显然是偶数吧……

  那么4 \ g[2],8 \ g[3]...

  也就是说2 ^ i \ g[i]

  所以f[i] 实际上有:

  (2 ^ 1) * (2 ^ 2) * (2 ^ 3) * ... * (2 ^ (i - 1)) \ f[i]

  2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]

  当i取12时,就有66个2了哟!

  这就是卡base为奇数时的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即为所求。

  而读入中base既有奇数又有偶数,直接在奇数构造的字符串后面加64个a就可以了。

  这样看来,忽然发现,2^64远远大于1000000007,所以卡起来不是那么简单。那么,对于3099,想要AC谈何容易。

  

 1 /************************************************************** 
 2     Problem: 3097 
 3     User: Doggu 
 4     Language: C++ 
 5     Result: Accepted 
 6     Time:0 ms 
 7     Memory:916 kb 
 8 ****************************************************************/
 9   
10 #include <cstdio> 
11 #include <algorithm> 
12 char s[100000]; 
13 int main() { 
14     printf("%d %d\n",(1<<11)+65,(1<<10)); 
15     int now=1;s[1]='a'; 
16     for( int i = 1; i <= 11; i++ ) { 
17         for( int j = 1; j <= now; j++ ) 
18             s[j+now]=s[j]=='a'?'b':'a'; 
19         now<<=1; 
20     } 
21     for( int i = 1; i <= now; i++ ) putchar(s[i]); 
22     for( int i = 1; i <= 65; i++ ) putchar('a'); 
23     putchar('\n'); 
24     return 0; 
25 } 
26 
27 
构造

 

 

 

posted @ 2017-06-10 10:06  Doggu  阅读(554)  评论(0编辑  收藏  举报