生成函数

普通生成函数

公式：

\[F(x)=\sum_{n}a_n \times x^n \]

如果有多个普通生成函数相乘：

\[G(x) \times F(x) = \sum_n x^n \sum_{i} a_i \times b_{n-i} \]

封闭形式：

在生成函数表示时，我们可以简化一下，就是封闭形式。

举个例子：

\[a=\left \langle 1,1,1,\dots \right \rangle \]

\[F(x)=\sum_n a_n \times x^n \]

\[=\sum_n x^n \]

容易发现：

\[F(x) \times x = F(x) -1 \]

\(解释：相当于将 F(x) 的式子向左平移一位。\)

解方程得：

\[F(x) \times (x-1) = -1 \]

\[F(x)=\frac{1}{1-x} \]

指数生成函数

公式：

\[\hat{F}(x)=\sum_n a_n \times \frac{x^n}{n!} \]

如果有多个指数生成函数相乘：

\[\hat{F}(x) \times \hat{G}(x)=\sum_i a_i \frac{x^i}{i!} \sum_j b_j \frac{x^j}{j!} \]

\[=\sum_n x^n \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} \frac{1}{i!(n-i)!} \]

\[=\sum_n \frac{x^n}{n!} \sum_{i=0}^n \left(^n_i\right) a_ib_{n-i} \]

封闭形式：

见 OI Wiki

例题：

食物

将每个食物的生成函数列出来，再做做就对了。