数数
狄利特雷卷积
先放一下式子：
看似很简单，实则不然，因为还没到时候。
定理
1.若 \(f\) 和 \(g\) 都为积性函数，那么 \(f*g\) 也是积性函数
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证明：
将式子代入：
设 \(a\) \(b\) 互质，即 \(gcd(a,b)=1\)
\((f*g)(a)*(f*g)g(b)\)
\(= \sum_{d1|a} f(d1)g(\frac{a}{d1}) * \sum_{d2|b} f(d2)g(\frac{b}{d2})\)
\(=\sum_{d1d2|ab} f(d1d2)g(\frac{ab}{d1d2})\)
\(=(f*g)(a*b)\)
2.具有交换律（易证）
3.具有结合律（易证）
4.具有分配律（易证）
单位函数
\(\epsilon (n) \begin{cases} 1 \quad n=1 \\0 \quad otherwise \end{cases}\)
自己乘一下就能发现奇妙了。
欧拉函数
应该都听说过吧。
\(\varphi (n) =\sum_{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]\)
定理
1.若 \(p\) 为素数，则 \(\varphi(p)=p-1\)
2.若 \(p\) 为素数，\(a\) 为正整数，那么 \(\varphi(p^a)=p^a-p^(a-1)=(p-1)p^{a-1}\)
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因为只要一个数不包含质数 \(p\) 就会与 \(p^a\) 互质，而小于等于 \(n\) 的数且包含 \(p\) 因数的只有 \(p^{k-1}\) 个，即 $1 \times p 、2 \times p \dots p^{k-1} \dots p $
3. 设 \(m\) 和 \(n\) 互质，那么 \(\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)\) 也就是欧拉函数是积性函数。
可是我不会证。
不过通过这一条，很显然可以得到，当 \(n\) 为奇数时，\(\varphi(2n) = \varphi (n)\)
4.设 \(n\) 是一个大于 \(2\) 的正整数，则有 \(\varphi(n)\) 为偶数。
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我们知道一个大于 \(2\) 的质数必为奇数，而我们知道当 \(x\) 为质数，那么 \(\varphi(x)=x-1\)，所以说一个大于 \(2\) 的质数 \(x\) ，\(\varphi(x)\) 为偶数。
则 \(n\) 质因数分解后会得到若干个质数，根据公理 \(3\) ，自然可得 $\varphi(n) = \varphi(p_1) \times \varphi (p_2) \times \dots \times \varphi(p_k) $ \(p\) 为质数。 所以得到 \(\varphi(n)\) 为偶数。
5.设 \(n\) 为正整数，那么 \(\sum_{d|n} \varphi(d) =n\)
我不会证QWQ。
莫比乌斯反演
++，我会这个？
先声明： \(p\) 在本文中指的是素数。
首先先得知道什么是莫比乌斯函数。
\(\mu(n)= \begin{cases} 1 \quad n=1 \\ (-1)^k \quad n=p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k (p_i 互不相同) \\ 0 \quad otherwise \end{cases}\)
莫比乌斯函数有个性质:
\(\sum_{d | n} \mu(d) = [n=1]\)
这个性质很中药，尽管我不会证。
然后来到 莫比乌斯反演：
可惜海狮不会证。
一道离体：
\(Luogu3455\)
保证 \(a<b\)
推下狮子：
此时我们法线 \([gcd(i,j)=1]\) 是不是跟性质很象，所以说我们直接陶俑攻势。
发现很难看，于是调换下顺序。
显然最后两个 \(\sum\) 可以替换成 $\left \lfloor \frac{a}{kd} \right \rfloor $ 与 $\left \lfloor \frac{b}{kd} \right \rfloor $
这样一个除法分块和前缀和就做完了。
浙公网安备 33010602011771号