2023.7 做题记录

7.2

ABC308Ex Make Q

标签：图论，最短路，最小环

来源：ABC308

突然发现无向图最小环这个东西不会做，补习一波。

无向图最小环就是在非负边权的无向图上求一个不重复经过边、除了首尾不重复经过节点的边权和最小的环。

这个东西可以参考OIWIKI，根据数据规模可以选择不同的解法。

在这个题中这个东西还需要拓展一下，对于任意点求出包含这个点的最小环，最小环定义和上述相同。

这里需要引入一个东西叫最短路径树，简而言之就是确定源点后，以源点为根构造一棵树，使得根到每个点的路径等于在原图上源点到这个点的最短路，这个是容易用dij构造的，不过大部分情况只需要求出来最小环的大小，所以只需要暴力dij处理出的最短路数组，不需要真的构造出这棵树。

回到本题，首先有一个简单的暴力是枚举每条边，钦定这条边是 'Q' 的尾巴，那么剩下的问题就是去掉这个边的其中一个端点，求剩下的图中包含另一个端点的最小环，根据上述算法单次可以做到 \(O(n^2+mlogn)\)（有人说可以做到 \(O(n^2)\)，不太懂，但是如果 \(m\) 和 \(n^2\) 同阶了此时 \(logn\) 的影响大概不会太大），那么这个暴力的复杂度是 \(O(m(n^2+mlogn))\)，也就是 \(O(n^4logn)\) 左右。

一种思路是改变枚举边为枚举点，这样做比较麻烦；另一种思路是仍然枚举边，求最小环目前这是最优复杂度了，那么就需要试着减少枚举量。

正难则反，考虑如果求出来包含某个点 \(x\) 的最小环，那么能选的尾巴是固定的，也就是 \(x\) 连出来的边中不在环上的边权最小的边。

思考一下这条边一共有多少种可能性，不难发现只有三种，并且是权值最小的三种，因为不可能这三条边同时出现在环上。

所以只需要枚举 \(3n\) 条边来求最小环即可，复杂度就变成了 \(O(n(n^2+mlogn))\)，也就是 \(O(n^3logn)\)，时限非常大，可以通过。

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