2022.10.24 ZRnoip20连day9

1.时间安排

8:30~9:40

先看了看题，T1数据结构，T2构造，T3状压，T4数论，还比较常规。

T1数据范围放到了1e6，非常恐怖。50分暴力很好写，就决定先把T1搞出来。

容易想到选择操作的数对一定是逆序对，一般处理这种是从小到大加入维护，但是这题右端点的值是区间内有多少数比右端点小，查询右端点的最大值，这东西不太可做。

想了很久也没什么合理的做法，先打了50分，再打了个暴力维护试试能不能过随机数据，也跑不动。

开T2。

9:40~10:30

感觉一眼冒泡排序，但是求稳先写了爆搜，发现n=10根本跑不动，剪枝也不行，就想冲正解试试。

浅证了一下如果无解按照冒泡排序的方式交换一定能判出来，问题就在于可能把有解判无解，没太想到合理的处理方式，不过似乎那样的数据很难构造，出题人大概不会卡太死（反正没子任务），写了个冒泡排序。

（结果真混了80分）

10:30~10:45

感觉T3不可做，打了20分阶乘暴力跑路。

10:45~11:20

T4阶乘暴力很简单，但是就10分不想写，发现只有m对相邻的点对，直接状压相邻点对选择情况，选择了就连边，dfs一遍找链，因为题目限制不可能连出来不是链的东西，然后用二项式定理容斥就做出来30分。

11:20~13:00

冲T1，什么也没写出来（后面摆了）。

result：

T1：50 T2：80 T3：20 T4：30

2.收获

T1：

很妙的数据结构题，正解真的是单log的。

操作的是逆序对这点不够强，可以发现一定是前缀最大值和后缀最小值，因为如果当前边界不是区间最大值一定不优。

考虑不作为边界的点就是被数的对象，考虑这个点被那些区间数了。

前缀最大值一定是连续的，所以当前点被数的区间也是连续的，直接二分出来左边界和右边界，后缀最小值同理。

典型的二维数点矩形加，本题是全局最大值，扫描线维护即可。

数据结构+性质分析，不是特别擅长性质分析的题，还是见的少。

T2：

先排序前n-2位，一定能完成，最后可能会出现n, n-1无法操作的现象。

一个结论是一个排列交换相邻数对后逆序对数奇偶性一定变化，升序排列逆序对数是偶，所以出现这种情况一定无解。

排列上这个结论可以直接用，非排列考虑人为规定偏序，值相同比较下标。

但是非排列并不一定说出现上述情况一定无解，我们可以交换一对值相同的数在排列中的值，相当于改变了排列逆序对数奇偶性，就避免了有解判成无解了。

当然找不到这样的一对数就必然无解。

很妙的构造，也学到了新的关于逆序对数的结论。

T3：

先判总和<0一定无解，>=0总能找到合法出发点。

如果已经知道行驶路线，考虑怎么求出最小合法的出发点。把路线从1开始画成折线图，那么最小合法出发点就是最左边的最低点，很容易证明。

以这点为分界线，前面的值必须大于0，后面的值必须大于等于0（根据上面的结论）。

设 \(f_s\) 表示当前选的路径集合是s，和小于0的方案数，\(g_s\) 则是和大于等于0的方案数，答案就是 \(\sum_{s}f_s*g_{C_us}*|s|\)。

被排列计数吓到了，实际上是简单状压DP题。

T4：

离谱数学题，题解太长就不在这里赘述了。

学到新技能：分块打表。

比如要求 1e9 级别的阶乘时，可以打出来B个块，每个块是这个块左端点到右端点的累乘值，那么可以做到 \(O(n/B)\) 查询，但是限于代码长度 \(B\) 不能太大，具体因题目而异。

这个操作当然也可以拓展到其他的地方，比如欧拉函数等等。

优点是很容易实现，且常数很小。

缺点就是要打出来这份表，如果是1e10……还是想正解吧。