BZOJ-3036 绿豆蛙的归宿(拓扑排序+概率dp)

题目描述

  给一个有向无环的连通图，\(n(1\leq n\leq 10^5)\) 个点 \(m(1\leq m\leq 2n)\) 条边，起点为 \(1\) 终点为 \(n\)，每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发，走向终点。到达每一个顶点时，如果有 \(k\) 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 \(\frac{1}{k}\) 。求从起点走到终点的所经过的路径总长度期望。

分析

  设 \(dp[x]\) 表示从节点 \(x\) 走到终点所经过的路径的期望长度。若从 \(x\) 出发有 \(k\) 条边，分别到达 \(y_1,y_2,\cdots,y_k\)，边长分别为 \(z_1,z_2,\cdots,z_k\) ，则根据数学期望的定义和性质，有：

\[dp[x]=\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^{k}(dp[y_i]+z_i) \]

  边界条件为 \(dp[n]=0\)。

  从终点出发，在反图上（每条边方向取反的图上）执行拓扑排序，在拓扑排序的过程中顺便计算 \(dp[x]\)，时间复杂度 \(O(n+m)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge
{
	int to;
	int Next;
	int dis;
}edge[200010];
int head[200010],num_edge;
void add_edge(int from,int to,int dis)
{
	edge[++num_edge].to=to;
	edge[num_edge].dis=dis;
	edge[num_edge].Next=head[from];
	head[from]=num_edge;
}
int deg[100010],out[100010];
double dp[100010];
queue<int> Q;
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add_edge(y,x,z);
		deg[x]++;
		out[x]++;
	}
	Q.push(n);
	while(!Q.empty())
	{
		int x=Q.front();
		Q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].Next)
		{
			int y=edge[i].to;
			dp[y]=dp[y]+(dp[x]+edge[i].dis)/deg[y];
			out[y]--;
			if(out[y]==0)
				Q.push(y);
		}
	}
	printf("%.2lf\n",dp[1]);
	return 0;
}