BZOJ-2048 [2009国家集训队]书堆(物理)

题目描述

  有 \(n(n\leq 10^{18})\) 本长度为 \(m\) 的书摆在水平桌面上，现在需要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。求水平延伸最远的整数距离，答案 \(<10^6\)。

分析

  由于下面的书的摆放不会影响上面的书是否会掉落，所以从最上面的书依次往下分析。

  每一本书是否会掉落可以利用书的重力（质量分布均匀的书的重心为 \(\frac{m}{2}\) 处）对紧邻这本书下面的书的右端产生的力矩来判断。

  当且仅当力矩为 \(0\) 时，第一本书刚好不会掉落且伸出的长度最大，所以 \((l_1-\frac{m}{2})Mg=0\)，解得 \(l_1=\frac{m}{2}\)。

  把第一本书和第二本书看成一个整体，所产生的力矩为 \(0\) 时，伸出长度最大。

\[(l_2-\frac{m}{2})Mg+(l_1+l_2-\frac{m}{2})Mg=0 \]

  解得 \(l_2=\frac{m}{4}\)。

  依次类推，最终得到 \(l_n=\frac{m}{2n}\)，全部加起来即为答案。

  本题的数据范围非常大，小范围直接暴力，大范围使用调和级数的近似求和公式：

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=ln(n)+\gamma \]

  其中 \(\gamma\) 为欧拉常数，\(\gamma =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\int_{1}^{n}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x})dx\approx 0.577215664\cdots\)。

  由于本题认为正好重心落在边界上是不稳定的，所以答案还需要减一个常数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double f,eps=1e-6;
int main()
{
    long long n,m;
    cin>>n>>m;
    if(n>=1e7)
        f=(log(n)+0.5772156649)/2;
    else
    {
        for(int i=2;i<=2*n;i=i+2)
            f=f+1.0/i;
    }
    long long ans=m*f-eps;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}