随笔分类 - 数论
摘要：光影交错 题目传送门 Description Solution 可以看出，假设我们设置一个临界点 \(n\) ，当 \(n\) 足够大的时候，\(n\) 步操作之后对答案的影响就不再精度考虑范围之类了。 我们设 \(f(i)\) 分别表示 \(i\) 次操作时非中性灵气的期望出现次数，\(g(i)\
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摘要：Solution 以前学过，但是太烂，而且很有局限性，今重学一遍。 考虑假设我们要解决的问题为求： \(\sum_{x=0}^{n} x^{k1}\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor^{k2}\) 可以发现可以分为几种情况进行讨论： \(a=0\) 或者 \(\lfloor\fr
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摘要：2021-07-09 查拉图斯特拉如是说 题目传送门 Description Solution 有多项式快速多点求值的算法，我写的是另外一种更加简单的 $\Theta(n\log n)$ 的算法。 我们可以发现，我们就是要求： $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\sum_{i
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摘要：国际儿童节 题目传送门 Description Solution 不难想到，你只需要计算出： \([FWT]A_i=\sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n} [\oplus_{h=1}^{n}S_{h,j_h}|i]\times \prod_{j=1}^{n} P_{h,j_h}\) 然
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摘要：定义 对于一个正整数 \(n\) ，若完全分解之后不存在指数 \(=1\) ，则称 \(n\) 为 \(\text{Powerful Number}\) 。 可以发现的是，在 \([1,n]\) 中，\(\text{Powerful Number}\) 的数量是 \(\sqrt n\) 级别的。 P
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摘要：T1 战神归来 题目传送门 Description Solution 可以大胆猜测，答案一定是可以取得下界的，下界随便乱算就好了。 考虑如何构造最优。可以想到的是，加入我们把终点坐标>=起点坐标的路径叫做右卡，反之叫做左卡，那么能让答案变小的操作一定是在某个交点处交换了地铁卡，而且最优情况一定是在端
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摘要：T1 区间第 k 小 题目传送门 Description 给出一个长度为 \(n\) 的序列，给出 \(w\)，有 \(q\) 次查询，每次查询给出 \(l,r,k\)，求出忽视掉区间出现次数 \(\ge w\) 的数之后第 \(k\) 大是多少，如没有 \(k\) 个则输出 \(n\)。 \(n\
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摘要：题目传送门 Description 问树大小为 \(n\)，每个节点的儿子个数 \(\le 3\) 的本质不同树的个数。不考虑儿子之间的顺序。 \(n\le10^5\) Solution 因为这个题跟多项式关系比较大，所以就没有放到 Polya 定理学习笔记里面。 我们可以看出，假设我们设 \(F(
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摘要：群 群的定义 我们定义，对于一个集合 \(G\) 以及二元运算 \(\times\)，如果满足以下四种性质，那我们就称 \((G,\times)\) 为一个群。 1. 封闭性 对于 \(a\in G,b\in G\)，那么有 \(a\times b\in G\) 2. 结合律 \(a\times (
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摘要：前言 本来准备看日报很久了，但是一直没有看懂，今天才恍然大悟。特此，记之。 拉格朗日乘数法 对于一个多元函数 \(F(x,y,z,..)\)，我们假如我们需要满足 \(\varphi(x,y,z,...)=0\)，那么我们想要求出这个函数的最值，我们就可以使用拉格朗日乘数法，具体来说，我们可以我们就
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摘要：看 \(\text{yyb}\) 的博客看到的，发现似乎并没有想象中的那么难，就学了一下，过了板题，这里记录一下，暂时还是只会二次剩余， \(n\) 次剩余暂时先放一下。 模数为奇素数 下文的 \(p\) 即是模数。 我们称 \(n\) 为模 \(p\) 意义下的二次剩余当且仅当存在 \(x\) 使
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摘要：本来应该跟着lf上概率入门但是不知道为什么还是可以在新高二这边苟，于是又听了一节课。讲了大概数学的一些题目，结果我一道都没有见过。。。 Chocolate 题目传送门 题目大意 你有一个口袋，里面有无限个巧克力，有 \(c\) 种颜色，每次拿出一个（拿出的每种颜色的概率相同）放在桌子上，如果桌子上有
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摘要：相逢是问候 题目传送门 题目大意 给出一个长度为$n$的数列$a_{1,2,...,n}$，有$m$次操作，每次操作分别为以下两种： 对出区间$[l,r]$，将该区间内的$a_i$都变为$c^$，其中$c$为给定常数 给出区间$[l,r]\(，求出该区间内的\)\sum_^ a_i$ \(n,m\l
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摘要：题目传送门 题目大意 给出$n,k$，以及$w_{1,2,..,n}$，定义一个集合$S$的权值$W(S)=|S|\sum_{x\in S} w_x$，定义一个划分$R$的权值为$\sum_{S\in R} W(S)$。求出每种划分权值之和。 思路 这个题目有两种方法。一种就是直接从一眼式中暴推出答
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摘要：前言 确实是初探，因为以前学得太烂了。。。 参考了这篇日报: https://www.luogu.com.cn/blog/KingSann/chu-tan-rong-chi-yuan-li 下面的$U$是全集，$|S|$表示集合$S$的大小。 正常项的容斥原理 大概长成这个样子吧: \(|S_1\c
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摘要：题目传送门 题目大意 给出$n,m$，表示有$n$个元素，求出有多少种方法使得选出$m$个子集，满足: 子集两两不完全相同。 不能有子集为空集。 每个元素被选中的次数只能为偶数次。 思路 我果然是个sb。。。 不难看出如果选中了$i-1$个子集，那么就一定确定了第$i$个子集，因为前面$i-1$个子
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摘要：题目传送门 题目大意 给出一个$n$个点的树，和常数$k$，对于$\forall i\in[1,n]$，求出: \(\sum_{j=1}^{n} \text{dist}(i,j)^k\) \(n\le 5\times 10^4,k\le 150\) 思路 真的很妙，一开始完全没有思路，看了$\tex
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摘要：题目传送门 题目大意 给出一个$n$个数的字符串，有$m$次查询，对于该串的子串$[l,r]$有多少个子串满足是固定素数$p$的倍数。 思路 其实很简单，但是一开始想偏了。。。果然还是自己菜啊。。。 我们可以想到统计一下后缀和$s[i]\(,表示\)[i,n]\(构成的数，那么，判断一个区间\)[l
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摘要：题目传送门 题目大意 给出$n,m$，表示有$m$种物品，第$i$种物品大小为$a_i$，有$b_i$个。$b_i=0$时表示有无限个。对于$i\in[1,m]$，求出有多少种方案使得选出的物品大小之和恰好为$i$。 思路 就是一个套路题。 我们发现$b_i=0$时的生成函数为$\dfrac{1}{
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