51nod 1022 石子归并 V2 —— DP四边形不等式优化

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1022 石子归并 V2 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 160 难度：6级算法题

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N堆石子摆成一个环。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

 

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

 

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

 

Input

第1行：N（2 <= N <= 1000)
第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Input示例

4
1
2
3
4

Output示例

19

 

 

题解：

1. 一开始想到的是：dp[l][r] = min(dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r]), l<=k<r 的区间DP，但时间复杂度为O（n^3），而n<=1e3，所以无法通过。

2. 然后需要四边形不等式进行优化，四边形不等式优化DP的结论请看：传送门

3. 优化后：dp[l][r] = min(dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r]), s[l][r-1]<=s[l][r]<=s[l+1][r]，即s[l][r-1]<=k<=s[l+1][r]

 

w[][]数组需要满足满足的条件：

1) 区间包含单调性：被包含的区间的值小于等于包含的区间的值。

2) 四边形不等式：交叉区间之和小于等于被包含区间加包含区间的值

 

 

 

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 2e3+10;

int dp[MAXN][MAXN], sum[MAXN], w[MAXN][MAXN], s[MAXN][MAXN];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF)
    {
        sum[0] = 0;
        for(int i = 1; i<=n; i++)   //因为初始时为环（而非一行），所以复制多一份到后面，
            scanf("%d",&sum[i]), sum[n+i] = sum[i];

        for(int i = 1; i<2*n; i++)  //求前缀和
            sum[i] += sum[i-1];

        for(int l = 1; l<2*n; l++)  //求出每一段区间，最后一次合并所花费的代价（必为质量和）
        for(int r = l; r<2*n; r++)
            w[l][r] = sum[r]-sum[l-1];

        for(int i = 1; i<2*n; i++)  //初始化单位区间
            dp[i][i] = 0, s[i][i] = i;

        for(int len = 2; len<=n; len++) //递推
        for(int l = 1; l+len-1<2*n; l++)
        {
            int r = l+len-1;
            dp[l][r] = INF;
            for(int k = s[l][r-1]; k<=s[l+1][r]; k++)
                if(dp[l][r]>dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r])    //四边形不等式优化
                {
                    dp[l][r] = dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r];
                    s[l][r] = k;
                }
        }
        int ans = INF;
        for(int l = 1; l<=n; l++)   //枚举起点，取最小值
            ans = min(ans, dp[l][l+n-1]);
        printf("%d\n", ans);
    }
}