[省选联考 2022] 卡牌

[省选联考 2022] 卡牌

这题放在场上应该也是比较有区分度的。基本功扎实应该能很快做出来，不过我卡了一会。

首先直接做肯定行不通，考虑容斥，然后发现容着容着就不会了。

最尖锐的矛盾在于，你肯定要记一下哪些数是还没选的，但是值域是很大的，然后就寄。

所以考虑数论里面的一个经典 trick：根号分治。注意到 \(\sqrt V = 43\)，所以一个数中 \(>43\) 的质数都只会出现一次。考虑抽象一下问题，现在有很多堆数，每次询问相当于钦定某些堆至少选一个，然后选出来的数要满足前 \(13\) 个质数的限制。

这样就可以直接容斥了，直接枚举 \(S\) 表示没选的质数的集合，预处理出 \(g_{i, S}\) 表示 \(i\) 的倍数中不包含 \(S\) 的数的个数。这个东西可以直接通过高维前缀和处理出来。然后随便算一下就可以了。

const int P = 998244353;
void add(int &x, int y) {
  (x += y) >= P ? x -= P : 0;
}
void sub(int &x, int y) {
  (x -= y) < 0 ? x += P : 0;
}
int pw[1000010];

const int N = 2010;
const int V = 2000;
int n, cnt[N], m, c;

int p[N], vis[N], tot, r[N];
void Sieve(int n) {
  for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    if(!vis[i]) p[++tot] = i, r[i] = tot;
    for(int j = 1; j <= tot; ++j) {
      if(i * p[j] > n) break;
      vis[i * p[j]] = 1;
      if(i % p[j] == 0) break;
    }
  }
}
int q[N];
int g[N][1 << 13];

int main() {
  freopen("card.in","r",stdin);
  freopen("card.out","w",stdout);
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  Sieve(V);
  cin >> n;
  pw[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) 
    add(pw[i] = pw[i - 1], pw[i - 1]);
  for(int i = 1, x; i <= n; ++i) {
    cin >> x;
    ++cnt[x];
  }
  for(int i = 1; i <= 13; ++i)
    for(int j = p[i]; j <= V; j += p[i]) 
      q[j] |= (1 << (i - 1));
  for(int i = 14; i <= tot; ++i) {
    int tp = p[i], u = (1 << 13) - 1;
    for(int j = tp; j <= V; j += tp)
      g[i][u ^ q[j]] += cnt[j];
    for(int j = 0; j < 13; ++j)
      for(int p = 0; p < (1 << 13); ++p)
        if(p >> j & 1) g[i][p ^ (1 << j)] += g[i][p];
  }
  int u = (1 << 13) - 1;
  for(int j = 1; j <= V; ++j)
    g[0][u ^ q[j]] += cnt[j];
  for(int j = 0; j < 13; ++j)
    for(int p = 0; p < (1 << 13); ++p)
      if(p >> j & 1) g[0][p ^ (1 << j)] += g[0][p];
  cin >> m;
  while(m--) {
    cin >> c;
    vector<int> b;
    int mask = 0;
    for(int i = 1, x; i <= c; ++i) {
      cin >> x;
      if(r[x] <= 13) mask |= 1 << (r[x] - 1); 
      else b.eb(r[x]);
    }
    sort(b.begin(), b.end());
    b.erase(unique(b.begin(), b.end()), b.end());
    c = sz(b);
    int ans = 0;
    for(int s = 0; s < (1 << 13); ++s) {
      if((mask & s) != s) continue;
      int mul = 1, ns = 0;
      for(int x : b) {
        mul = 1ll * mul * (pw[g[x][s]] - 1) % P;
        ns += g[x][s];
      }
      mul = 1ll * mul * pw[g[0][s] - ns] % P;
      if(__builtin_popcount(s) & 1) sub(ans, mul);
      else add(ans, mul);
    }
    cout << ans << '\n';
  }
}