第三章作业

动态规划法求解数字三角形问题 实践报告

一、问题分析

数字三角形问题要求从三角形顶部出发，每次只能向下或向右下移动，求到达底部路径的最大数字和。

二、动态规划求解步骤分析

状态定义​

设 arr[i][j]表示从位置 (i, j)出发到达三角形底部的最大路径和。

最优子结构性质​

从 (i, j)出发的最优解包含从它下方两个位置 (i+1, j)和 (i+1, j+1)出发的最优解之一，即整体最优解包含子问题的最优解。

递归方程式​

arr[i][j]=arr[i][j]+max(arr[i+1][j],dp[i+1][j+1])

边界条件​

当 i = n-1（最后一行）时：arr[n−1][j]=arr[n−1][j](其中 0≤j≤n−1)

表的维度​

二维表：arr[n][n]

有效区域：下三角区域（j ≤ i）

填表范围​

行范围：i从 n-2到 0（自底向上）

列范围：对于每行 i，j从 0到 i

填表顺序​

采用自底向上的顺序：初始化最后一行：arr[n-1][j] = arr[n-1][j]，从倒数第二行开始向上逐行计算，每行从左到右计算

原问题的最优值​

dp[0][0]表示从三角形顶部出发到达底部的最大路径和。

算法复杂度分析

时间复杂度​

三角形总元素数：n(n+1)/2 = O(n²)，每个元素计算时间为 O(1)，总时间复杂度：O(n²)

空间复杂度​

算法原地修改输入数组，不需要额外空间，空间复杂度：O(1)（不计输入存储空间）

对动态规划算法的理解与体会

动态规划适用于具有最优子结构​和重叠子问题​的问题。本题中，从某点到底部的最优解，可由其下方两点最优解推导，体现了最优子结构。直接递归会重复计算子问题，而这可以通过填表避免了重复计算。对于数字三角形这类问题，从下往上递推比从上往下更简洁，因为底部状态已知，向上推没有条件判断。