2019杭电/牛客多校待补题和已补题

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HDU第八场

HDU6662 Acesrc and Travel 树形DP

题意：

• A，B两个人，每个节点有两个属性\(a_i,b_i\)，A先选一个节点，B选相邻下一个节点，交替选直到没法选。A想让\(\sum (a_i-b_i)\)最大，B想让\(\sum (b_i-a_i)\)最大。两人都足够聪明，问最后\(\sum (a_i-b_i)\)是多少。

分析：

• 上面规矩的意思可以说：B想让\(\sum (a_i-b_i)\)最小，A想让\(\sum (b_i-a_i)\)最小。
• A选了\(u\)，若此时\(u\)的儿子全是叶子，B肯定会帮A选\(\sum (b_i-a_i)\)最大的路径，此贡献是\(a_u-b_u- max(\sum (b_i-a_i))\)，这也是\(\sum (a_i-b_i)\)最小的路径。
• B选了\(u\)，若此时\(u\)的儿子全是叶子，A肯定会帮B选\(\sum (a_i-b_i)\)最大的路径，此贡献是\(a_u-b_u+ max(\sum (a_i-b_i))\)，这也是\(\sum (b_i-a_i)\)最小的路径。
• 记录\(dp1[i][0]\)表示双方采取最优策略下\(i\)子树向下路径中\(\sum (a_i-b_i)\)的最小值，\(dp1[i][1]\)为次小值；\(dp2[i][0]\)表示双方采取最优策略下\(i\)子树向下中\(\sum (b_i-a_i)\)的最小值，\(dp2[i][1]\)为次小值。
• 若以节点\(x\)为根开始做上面树形DP，则\(dp1[x][0]\)为此时的答案。为统计出每个节点为根时的答案，我们先随便从一个点开始一遍树形DP，然后从同一点开始做换根DP（也就是用父亲的信息更新自己作为根时的贡献。
• 转移方程：\(dp1[u][0] = ar[u]-br[u] - max(dp2[v][0])\; v\in son[u]\)，\(dp2[u][0] = ar[u]-br[u] - max(dp1[v][0])\; v\in son[u]\)
• 换根DP时：双方最优策略下：对每个节点记录它向上路径中最小的\(\sum(a_i-b_i)\)=TMP[u]，min(dp1[u][0],TMP[u])是u为根时的答案。
• 为记录TMP[u]还需记录sta[u]表示u节点向上路径中最大的\(\sum(a_i-b_i)\).

/*
在AB足够聪明的情况下，A要a-b最大值，答案是dp1[u][0]=min(\sum (a_i-b_i)) = ar[u]-br[u]-dp2[u][0]，在u的儿子中减去min(\sum b_i-a_i)也就是加上max(\sum a_i-b_i))，用最大的\sum a_i-b_i更新答案即可。dp2[u][0]也是用最大的$\sum b_i-a_i$更新答案。
换根DP时：双方最优策略下：对每个节点记录它向上路径中最小的$\sum(a_i-b_i)$=TMP[u]，min(dp1[u][0],TMP[u])是u为根时的答案。
为记录TMP[u]还需记录sta[u]表示u节点向上路径中最大的$\sum(a_i-b_i)$.

本题用最大值来更新最小值，和用最小值来更新最大值，答案是最小值，这有点博弈感觉把。
*/
const int MXN = 1e6 + 7;
const int MXE = 1e6 + 7;
int n, m;
LL ar[MXN], br[MXN];
vector<int> mp[MXN];
LL dp1[MXN][2], dp2[MXN][2], TMP[MXN];
int son[MXN][2], fa[MXN], num[MXN];
LL ans;
void dfs1(int u, int ba) {//a - b的minsum, b - a的minsum
    dp1[u][0] = dp1[u][1] = INFLL;
    dp2[u][0] = dp2[u][1] = INFLL;
    fa[u] = ba;num[u] = 0;
    for(auto v: mp[u]) {
        if(v == ba) continue;
        dfs1(v, u);
        num[u]++;
        if(ar[u] - br[u] - dp2[v][0] < dp1[u][0]) {
            son[u][0] = v;
            dp1[u][1] = dp1[u][0];
            dp1[u][0] = ar[u] - br[u] - dp2[v][0];
        }else dp1[u][1] = sml(dp1[u][1], ar[u] - br[u] - dp2[v][0]);
        if(br[u] - ar[u] - dp1[v][0] < dp2[u][0]) {
            son[u][1] = v;
            dp2[u][1] = dp2[u][0];
            dp2[u][0] = br[u] - ar[u] - dp1[v][0];
        }else dp2[u][1] = sml(dp2[u][1], br[u] - ar[u] - dp1[v][0]);
    }
    if(num[u] == 0) dp1[u][0] = dp1[u][1] = ar[u] - br[u], dp2[u][0] = dp2[u][1] = br[u] - ar[u];
}
LL tmp, sta[MXN];
void dfs2(int u, int ba) {
	for(auto v: mp[u]) {
		if(v == ba) continue;
		tmp = dp1[v][0];
		if(v == son[u][1]) {
			tmp = dp2[u][1];
		}else {
			tmp = dp2[u][0];
		}
		int aim = 4;
//		if(v == aim) debug(tmp, u, mp[u].size())
		if(u != 1) tmp = sml(tmp, -sta[u]);//a-b max
		if(num[u] == 1) {
		    if(num[v] == 0) ans = big(ans,  TMP[v] = ar[v] - br[v] + sta[u]);
		    else ans = big(ans, sml(dp1[v][0], TMP[v] = ar[v] - br[v] + sta[u]));
//		    debug(u, v, ans, dp1[v][0], ar[v] - br[v], sta[u])
		}
		else {
		    if(num[v] == 0) ans = big(ans, TMP[v] = ar[v] - br[v] - tmp);
		    else ans = big(ans, sml(dp1[v][0], TMP[v] = ar[v] - br[v] - tmp));
		}
//		if(v == aim) debug(tmp, sta[u], mp[v].size())
		if(v == son[u][0]) {
		    tmp = dp1[u][1];
		}else {
		    tmp = dp1[u][0];
		}// a-b max  b-a min
		if(num[u] == 1) sta[v] = ar[v] - br[v] + TMP[u];
		else {
		    if(u == 1) sta[v] = ar[v] - br[v] + tmp;
		    else sta[v] = ar[v] - br[v] + sml(tmp, TMP[u]);//a-b max b - a min
		}
//		debug(u, v, ans, son[u][1]);
		dfs2(v, u);
	}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/in.txt", "r", stdin);
//    freopen("/home/cwolf9/CLionProjects/ccc/out.txt", "w", stdout);
#endif
    int tim = read();
    while(tim --) {
        n = read();
        for(int i = 1; i <= n; ++i) ar[i] = read(), mp[i].clear();
        for(int i = 1; i <= n; ++i) br[i] = read();
        for(int i = 1, a, b; i < n; ++i) {
            a = read(), b = read();
            mp[a].eb(b), mp[b].eb(a);
        }
        dfs1(1, 0);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
//            printf("%d %d %lld %lld %lld %lld\n", son[i][0], son[i][1], dp1[i][0], dp1[i][1], dp2[i][0], dp2[i][1]);
        }
        sta[0] = -INFLL;
		TMP[1] = sta[1] = ar[1] - br[1];
		ans = dp1[1][0];
		dfs2(1, 0);//max minnum
		printf("%lld\n", ans);
    }
#ifndef ONLINE_JUDGE
//    cout << "time cost:" << 1.0*(clock())/CLOCKS_PER_SEC << "\n";
#endif
    return 0;
}
/*
6
7
-1 -1 -1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
5
-100 1 -100 1 1
0 0 0 0 0
1 2
1 3
2 4
2 5
3
1 1 1
0 2 3
1 2
1 3
5
1 1 1 2 4
0 2 3 3 2
1 2
1 3
2 4
2 5
11
1 1 1 2 4 4 3 2 5 6 2
0 2 3 3 2 0 3 2 6 4 3
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 8
4 9
8 10
8 11
11
2 4 5 3 6 8 1 0 6 4 3
9 3 5 0 6 1 3 5 7 9 0
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 8
4 9
8 10
8 11
*/