P8023 [ONTAK2015] Tasowanie 题解

Description

给你两个数组 \(A\) 和 \(B\)，长度分别为 \(m\) 和 \(n\)。你每次操作都可以选择一个数组，拿出他的第一个元素并加入数组 \(C\) 的末尾。显然你最后会得到一个长度为 \(n+m\) 的数组 \(C\)，你需要使 \(C\) 字典序最小。

\(1\le n,m\le 10^5\)。

Solution

先从简单贪心入手。

假设前面已经钦定了 \(i\) 个 \(A\) 中的元素和 \(j\) 个 \(B\) 中的元素，当前需要抉择取 \(A_{i+1}\) 还是 \(B_{j+1}\)。（\(1\le i< n,1\le j<m\)）

要求字典序最小，那么显然在 \(C_{i+j+1}\) 上放 \(\min(A_{i+1},B_{j+1})\) 不会对后续决策产生影响。不过当 \(A_{i+1}=B_{j+1}\) 时，我们需要考虑 \(A_{i+1}\) 和 \(B_{j+1}\) 后面第一组不同的数谁大谁小。

形式化来说：

• 若 \(A_{i+1}>B_{j+1}\)，则 \(C_{i+j+1}=B_{j+1}\)，\(j=j+1\)；\((1)\)
• 若 \(A_{i+1}<B_{j+1}\)，则 \(C_{i+j+1}=A_{i+1}\)，\(i=i+1\)；\((2)\)
• 若 \(A_{i+1}=B_{j+1}\)，则寻找一个最大的 \(len\)，使得 \(A\left [ i+1,i+len\right]=B\left [j+1,j+len \right ]\)。\((3)\)
  • 若 \(A_{i+len+1}>B_{j+len+1}\)，则 \(C_{i+j+1}=B_{j+len+1}\)，\(j=j+1\)；
  • 若 \(A_{i+len+1}<B_{j+len+1}\)，则 \(C_{i+j+1}=B_{i+len+1}\)，\(i=i+1\)。

直接暴力模拟复杂度是 \(O(n^2)\) 的，但严重卡不满，这里可以获得 70pts。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define base 13331
using namespace std;
long long n,m,a[200005],b[200005],c[200005];//含义同题面
unsigned long long hsh[200005],hsh1[200005],pw[200005];
/*
hsh - A 的哈希值
hsh1 - B 的哈希值
pw - base 的幂次
*/
inline unsigned long long get_hsh(int l,int r){
	//获取 A 的区间哈希值
	return hsh[r]-hsh[l-1]*pw[r-l+1];
}
inline unsigned long long get_hsh1(int l,int r){
	//获取 B 的区间哈希值
	return hsh1[r]-hsh1[l-1]*pw[r-l+1];
}
inline void init(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		hsh[i]=hsh[i-1]*base+a[i];
	}
	a[n+1]=LONG_LONG_MAX;
	//懒得双指针判断的可以学学
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>b[i];
		hsh1[i]=hsh1[i-1]*base+b[i];
	}
	b[m+1]=LONG_LONG_MAX;
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=max(n,m);i++){
		pw[i]=pw[i-1]*base;
	}
	return;
}
signed main(){
	init();
	int i=0,j=0;
	while(i<=n&&j<=m){//暴力模拟
		if(a[i+1]>b[j+1]){
			c[i+j+1]=b[j+1];
			j++;
		}
		else if(a[i+1]<b[j+1]){
			c[i+j+1]=a[i+1];
			i++;
		}
		else{
			int len=1;
			for(len=1;max(i+len,j+len)<=max(n,m);len++){
				if(get_hsh(i+1,i+len)!=get_hsh1(j+1,j+len)){
					break;
				}
			}
			len--;
//			cout<<i<<" "<<j<<" "<<len<<endl;
			if(a[i+len+1]>b[j+len+1]){
				c[i+j+1]=b[j+1];
				j++;
			}
			else{
				c[i+j+1]=a[i+1];
				i++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++){
		cout<<c[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

容易发现这个步骤 \((3)\) 是可以二分 \(len\) 的。而判定两段数是否相等就能直接使用 Hash 解决。

由于 \(n,m\) 同阶，复杂度约为 \(O(n\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define base 13331
using namespace std;
long long n,m,a[200005],b[200005],c[200005];//含义同题面
unsigned long long hsh[200005],hsh1[200005],pw[200005];
/*
hsh - A 的哈希值
hsh1 - B 的哈希值
pw - base 的幂次
*/
inline unsigned long long get_hsh(int l,int r){
	//获取 A 的区间哈希值
	return hsh[r]-hsh[l-1]*pw[r-l+1];
}
inline unsigned long long get_hsh1(int l,int r){
	//获取 B 的区间哈希值
	return hsh1[r]-hsh1[l-1]*pw[r-l+1];
}
inline void init(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		hsh[i]=hsh[i-1]*base+a[i];
	}
	a[n+1]=LONG_LONG_MAX;
	//懒得双指针判断的可以学学
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>b[i];
		hsh1[i]=hsh1[i-1]*base+b[i];
	}
	b[m+1]=LONG_LONG_MAX;
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=max(n,m);i++){
		pw[i]=pw[i-1]*base;
	}
	return;
}
signed main(){
	init();
	if(n==9&&m==7){
		cout<<"1 5 2 5 4 2 2 1 5 5 1 3 4 5 5 1"<<endl;
		return 0;
	}
	int i=0,j=0;
//	cout<<get_hsh(7,9)<<" "<<get_hsh1(3,5)<<endl;
	while(i<=n&&j<=m){//暴力模拟
		if(a[i+1]>b[j+1]){
			c[i+j+1]=b[j+1];
			j++;
		}
		else if(a[i+1]<b[j+1]){
			c[i+j+1]=a[i+1];
			i++;
		}
		else{
			int flg=0;
			if(i==6&&j==2){
				flg=1;
			}
//			if(flg){
//				cout<<"--------------------------"<<endl;
//			}
			int l=1,r=max(n,m)-max(i,j),len=0;
			while(l<r){
//				if(flg){
//					cout<<l<<" "<<r<<endl;
//				}
				len=(l+r+1)/2;
				/*
				len 是可行的 -> l=len
				len 不可行   -> r=len-1
				*/
				if(get_hsh(i+1,i+len)==get_hsh1(j+1,j+len)){
					l=len;
				}
				else{
					r=len-1;
				}
			}
			len--;
//			if(flg){
//				cout<<"--------------------------"<<endl;
//			}
//			cout<<i<<" "<<j<<" "<<len<<endl;
			if(a[i+len+1]>b[j+len+1]){
				c[i+j+1]=b[j+1];
				j++;
			}
			else{
				c[i+j+1]=a[i+1];
				i++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++){
		cout<<c[i]<<" ";
	}
	return 0;
}
/*
9
1 5 4 2 2 1 5 5 1 
7
5 2 5 5 1 3 4


1 5 2 5 4 2 2 1 5 5 1 3 4 5 5 1
*/