【NOIP练习赛】学习

【NOIP练习赛】T3、学习

Description

巨弱小 D 准备学习，有 n 份学习资料给他看，每份学习资料的 内容可以用一个正整数 ai 表示。小 D 如果在一天内学习了多份资料， 他只能记住这些资料的内容表示成的整数的最大公约数的部分。学习 若干份资料得到的收益是小 D 记下的内容之和，也就是学习的资料 数乘上这些资料内容的最大公约数。小 D 今天准备挑一段连续的资 料来学习，请你告诉他最大的收益是多少。 

Input

第一行一个正整数 n，表示资料数。 接下来 n 个正整数 ai，分别表示每份资料的内容。

对于 20%的数据，n<=100；

对于 40%的数据，n<=1000；

对于 70%的数据，n<=100000；

对于 100%的数据，n<=500000，ai<=${10^9}$

Output

输出一个整数，表示答案。 

Sample Input

5 30 60 20 20 20 

Sample Output

80 

Solution

应某人要求，来写题解

 

这道题还是有点难度，毕竟一个区间gcd，一直没想到解法，听dalao讲解后豁然开朗

 

确实本题只需边读边处理，在读入每个数时计算该数与前面所有数的gcd，又由gcd的一个小公式gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)所以我们只要用这个数和前面记录下的gcd再求出gcd就可以做到求区间[1..i]，[2..i]，[3..i]...,[i-1,i]的gcd

 

但是如果gcd重复太多，显然会T掉，而由于gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)，则gcd(a,b)<=gcd(a,b,c)所以区间[1..i]，[2..i]，[3..i]...,[i-1,i]是单调不增的，那么我们就可以将gcd相同的数字合并，记录最左边的数（因为i为右端点，该点越左，gcd*区间长度就会越大）

 

那么为什么这样不会T呢？

 

因为我们这样处理的话，记录下的gcd都为a[i]的因数，而a[i]的因数不会超过${\log _2}a[i]$  个，所以我们记录下的前面的gcd个数不会超过${\log _2}a[i]$   个，只要暴力求，然后每次合并，并且每次更新最优解即可

 

还是挂程序吧

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
int n,d[500050],k,l[500050];
ll ans;
int gcd(int a,int b){return a%b==0 ? b:gcd(b,a%b);}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&d[1]);
    l[1]=1,k=1,ans=d[1];
    for (int i=2;i<=n;i++) {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        for (int j=1;j<=k;j++) d[j]=gcd(d[j],m);
        int po=1;
        for (int j=2;j<=k;j++) if (d[po]!=d[j]) d[++po]=d[j],l[po]=l[j];
        k=po;
        if (d[k]!=m) d[++k]=m,l[k]=i;
        for (int j=1;j<=k;j++) ans=max(ans,(ll)d[j]*(i-l[j]+1));
    } 
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}