[计数dp][数学] Jzoj P4254 集体照

Description

     一年一度的高考结束了，我校要拍集体照。本届毕业生共分n个班，每个班的人数为Ai。这次拍集体照的要求非常奇怪：所有学生站一排，且相邻两个学生不能同班。现在，安排这次集体照的老师找到了你，想问问你一共有多少种方案。方案数可能很大，最终结果对1,000,000,007取模。

 

Input

输入文件名为photo.in。
第一行为为一个整数n。
第二行为n个正整数，分别为每个班的人数。

Output

输出文件photo.out，共1行，为总方案数。

 

Sample Input

输入1：
2
1 2
输入2：
2 
1 3
输入3：
3 
1 2 3
 

Sample Output

输出1：
2
输出2：
0
输出3：
120

 

Data Constraint

对于30%，Sigma(Ai) <=10
对于另外10%，n=2
对于另外20%，n=3
对于100%，1<=n<=50,1<=Ai<=50, Sigma(Ai)<=1500

 

题解

• 题目大意：问有n个班，每个班有a[i]个人，问相邻两个人都不同班的方案数
• n<=50,∑Ai<=1500，极其优秀的范围，考虑一下dp，设f[i][j]表示做到前i个班，有j个相邻为同班为位置的方案数
• 首先，根据样例我们可以得出，每个班的每个人互换位置也算一种方案数，那么我们先考虑每个班里的人都是火柴人
• 那么这个dp的状态转移方程为
• 就是将A[i]分成k组，将t组插入分配到之前j个相邻的位置中，就是将t组分配插入到j个位置的方案数，就是将A[i]分成k组的方案数（就是挡板问题），就是将剩下的k-t组分配到剩下的原来合法的位置中的方案数
• 然后怎么求呢，显然就可以预处理出组合数（杨辉三角）和阶乘（等下就知道了），答案就是F[n][0]
• 那么我们返回来求每个班内不同人的分配，就是排列问题嘛，就是a[i]!
• 所以最后的答案就为

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
#define N 60
#define M 1510
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n;
ll a[N],sum[N],f[N][M],jc[M],c[M][M],ans;
int main()
{
    freopen("photo.in","r",stdin),freopen("photo.out","w",stdout),scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    jc[0]=c[0][0]=1; for (int i=1;i<=1500;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    for (int i=1;i<=1500;i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for (int j=1;j<=i-1;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
    }
    f[1][sum[1]-1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=sum[i-1];j++)
            if (f[i-1][j])
                for (int k=1;k<=a[i];k++)
                    for (int p=0;p<=min(k,j);p++)
                        (f[i][j-p+a[i]-k]+=f[i-1][j]*c[j][p]%mo*c[a[i]-1][k-1]%mo*c[sum[i-1]+1-j][k-p]%mo)%=mo;
    ans=f[n][0];
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=ans*jc[a[i]]%mo;
    printf("%lld",ans);
}