【笔记】数论合集

各种各样的恒等式

1. \(x=\sum_{d|x}\varphi(d)\)【GCD SUM】p.s. 这个题就直接把 gcd 替换成 \(\varphi\) 就好了。

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exgcd

对于一个关于 \(x,y\) 的方程：\(ax+by=c\)。

首先可以用裴蜀定理判有无解，即有解的充要条件是 \(\gcd(a, b) \mid c\)。

通过 exgcd 可以求出其特解：\(x_0,y_0\)。

那么其通解即为：\(x = x_0 + \frac bd t, y = y_0 - \frac adt,\ d=\gcd(a,b)\)。

若想得到 \(y\) 的最小非负数解，令 \(r=\frac ad\)，则 \(y=(y\bmod r+r)\bmod r\)

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y) {
	if (!b) return x = 1, y = 0, a;
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	return y -= a / b * x, d;
}

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crt / excrt

假如我们已经拿到了前 \(i-1\) 的答案 \(ans\)，则通解可以被表示为 \(ans+Mx\)，其中 \(M=\text{lcm}(m_1,m_2,\dots,m_{i-1}),x\in \mathbb Z\)。

现在只需找到让 \(ans+Mx\equiv a_i\pmod {m_i}\) 成立的 \(x\) 即可。

转化一下也即：\(Mx+m_iy=a_i-ans\)，一看就是 exgcd 求出一组特解即可。

p.s. 如果对于原条件：\(x\equiv a_i\pmod{m_i}\)。中间多了一些系数也可以通过上面这种推导出 exexcrt（大雾。【[NOI2018] 屠龙勇士】

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Wilson 定理

对于任意实数 \(p\)：

• 如果 \(p\) 是质数，则有 \(p\mid(p-1)!+1\)；（定理本体
• 如果 \(p\) 不是质数，则有 \(p\mid(p-1)!\)（讲 \(p\) 拆成两个较小的因数，显然成立