对数log讲解

1. 什么是对数？

对数是指数运算的逆运算。如果 \(a^b = c\)（其中 \(a > 0\) 且 \(a ≠ 1\)），那么 \(\log_a c = b\)

基本定义

• \(\log_a x = y\) 意味着 \(a^y = x\)
• 例如：\(\log_2 8 = 3\)，因为 \(2^3 = 8\)

2. 常见的对数类型

自然对数 (ln)

• 以 \(e\) 为底的对数：\(\ln x = \log_e x\)
• \(e ≈ 2.71828...\)（自然常数）

常用对数 (lg)

• 以 10 为底的对数：\(\lg x = \log_{10} x\)

二进制对数 (lb)

• 以 2 为底的对数：\(\lb x = \log_2 x\)

3. 对数的基本性质

• \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
• \(\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y\)
• \(\log_a (x^n) = n \log_a x\)
• \(\log_a a = 1\)
• \(\log_a 1 = 0\)

4. 换底公式

\[\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]

常用形式：\(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\)

5. 换底公式法

这是最实用的笔算方法：

\[\log_a x = \frac{\log x}{\log a} \]

通过查常用对数表来计算。

6. 对数表查表法（传统方法）

步骤：

1. 将数字标准化为科学计数法形式
2. 查对数表得到尾数部分
3. 加上首数部分（指数部分）

例如计算 \(\log_{10} 256\)：

• \(256 = 2.56 × 10^2\)
• 查表得 \(\log_{10} 2.56 ≈ 0.4082\)
• \(\log_{10} 256 = 0.4082 + 2 = 2.4082\)

7. 近似计算公式

泰勒级数展开：

\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... \]

（当 \(|x| < 1\) 时）

常用近似：

• \(\ln 2 ≈ 0.693\)
• \(\ln 3 ≈ 1.099\)
• \(\log_{10} 2 ≈ 0.301\)
• \(\log_{10} 3 ≈ 0.477\)

8. 实用笔算技巧

利用对数性质：

• \(\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - 0.301 = 0.699\)
• \(\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2 = 2 × 0.301 = 0.602\)

9. 现代笔算方法

如果没有计算器，最实际的方法是：

1. 记住几个关键对数值
2. 利用对数的运算法则进行分解
3. 通过线性插值估算中间值

实际例子：
计算 \(\log_2 20\)

• \(\log_2 20 = \log_2 (4 × 5) = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + \log_2 5\)
• \(\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} ≈ \frac{0.699}{0.301} ≈ 2.32\)
• 所以 \(\log_2 20 ≈ 2 + 2.32 = 4.32\)