2025.7.1 模拟赛

7.1 模拟赛

count

性质 + 一车分讨题

key：\(f(x)\equiv \theta(x) \pmod {B-1}\)

这其实是很显然的性质，具体参见 \(9\) 的整除规则，但考场上完全没往这方向想，感觉如果没见过的话确实需要一定灵感。

只有 0 和 B-1 的情况需要单独考虑，先不管它。

注意到这样一个区间的答案只与 \(sm\bmod {B-1}\) 以及数字集合 \(S\) 有关，由于增量是 \([-(B-1),B-1]\) 所以总和 \(\in [0,2(B-1)]\) 的需要保留，其他只关注模数即可。

考虑计数这些区间个数，枚举左端点，注意到这样本质不同的集合只有 \(O(B)\) 种，其中 \(sm\in [0,2(B-1)]\) 的也可以用非 0 元素划分成 \(O(B)\) 段，\(sm>2(B-1)\) 的可以预处理前缀和的前缀桶。

知道 \(f(sm,S)\) 后可以枚举增量后位运算推出变成 \(x\) 需要集合 \(T\) 中任意一个数，得到 \(g(x,T)\)。
再用 \(g(x,T)\) 推出答案数组 \(h(x,S)=\sum_{T\cap S\neq \empty}g(x,T)\)，这里用高维前缀和+容斥处理即可。

\(0\) 和 \(B-1\) 需要单独计算全零串和只有一个非零元素串的贡献。

maze

神奇 DP 题。

第一步是树上最短路和拆贡献到每条边上，这样只关心子树大小就非常好。

key：子树形态只有三种

• \((i,j)\) 为根，父亲在外面，子树包含 \([l,r]\) 的整段。
• \((i,j)\) 为根，父亲是 \((i,j+1)\)，子树包含 \([l,r]\setminus\{i\}\) 的整段和 \((i,1),\dots,(i,j)\)。
• \((i,j)\) 为根，父亲是 \((i,j-1)\)，子树包含 \([l,r]\setminus\{i\}\) 的整段和 \((i,j),\dots,(i,a_i)\)。

对这三种情况分别 DP，设 \(f(i,j,l,r),g(i,j,l,r),h(i,j,l,r)\)，枚举 \((i,j)\) 连边管辖的子树分别转移即可。

转移顺序比较神秘，所以记忆化搜索。

snow

本质是前后两个单调栈的归并，相同元素只算一次。

注意到这个相同元素就比较烦，很难对每个位置维护这个单调栈的形态和答案，于是拆贡献，考察每种权值对每个位置的贡献（显然同种权值只会对某个位置贡献一次）。

为什么这样好呢？因为这样只需考虑这个权值能否成为这个位置的前缀/后缀最大值，不关心序列的具体形态，只关心一个形如区间 \(\max\) 的东西，贡献是相对独立且容易维护的。

没有相同元素的时候贡献区间显然是 \([L_i+1,R_i-1]\)，有相同元素时注意到贡献区间要么相同要么不交，所以对贡献区间相同的只算一次即可（等势点），不同的就不用管了。

发现此时交换相邻元素的影响就非常小了，比如对 \(v<h_x\) 或 \(v\ge h_{x+1}\) 的贡献区间没有任何影响（不妨设 \(h_x<h_{x+1}\)）。

对 \(v=h_x\) 的考察左边/右边有没有等势点，修改是对一个区间 \(\plusmn 1\) 的形式。

\(v\in[h_x+1,h_{x+1}-1]\) 的只会改变对位置 \(x\) 或 \(x+1\) 的贡献（区间端点 \(\plusmn 1\)）。会改变的位置形如一个区间内起点 \(>h_x\) 的后缀最大值，直接楼房重建即可。

\(h_x>h_{x+1}\) 是高度对称的，可以合在一起写，码量大约 6k。