2025.6.28 模拟赛

6.28 模拟赛

zephyr

显然可以钦定 $S_1=1$，于是字符串只有一种情况 $S_i=[z_i>0]$，只需判断这个字符串是否符合要求。

这样就有了若干平方暴力/哈希做法。

来一个确定性的 $O(n\log^2)$ 做法。

记反串为 $T$，每个位置建一个点，对钦定相同的关系连边。则每个限制形如若干 $S-S,T-T$ 的边加上最后的 $S-T$ 的边，最后只需判断 $S_1,T_1$ 是否联通。

设 $b_i=\min\limits_{t\in [0,m]} z_i$，则有 $b_i$ 条边是一直不变的，而会变化的边总数是 $O(m)$ 的。

对于不变的边，发现是形如 $[l,r]\to [1,r-l+1]$ 这样区间连的，可以用倍增并查集维护。
具体的，维护 $\log $ 个并查集，分别表示 $[i,i+2^k-1]$ 的连边。所有边连完后再逐层递归到子区间。

struct dsu{
    int fa[N][21],n;
    inline void init(int _n){
        n=_n;rep(j,0,19) rep(i,1,n+1) fa[i][j]=i;
    }
    inline int getfa(int x,int k){
        return fa[x][k]==x?x:fa[x][k]=getfa(fa[x][k],k);
    }
    inline void merge(int x,int y,int k){
        int fx=getfa(x,k),fy=getfa(y,k);
        if(fx==fy) return;
        fa[fx][k]=fy;
    }
    inline void MERGE(){
        per(k,19,1) {
            rep(i,1,n-(1<<k)+1){
                int j=getfa(i,k);if(i==j) continue;
                merge(i,j,k-1);
                merge(i+(1<<(k-1)),j+(1<<(k-1)),k-1);
            } 
        }
    }
}d;

对于变化的边，把 $z_i$ 的变化曲线拉出来，每条边的存在都是若干区间，直接套线段树分治即可。

由于数据范围过大，跑的非常慢，需要加一个当前 $S_1，T_1$ 已经联通就不继续递归的小优化。