生成树的个数——基尔霍夫定理(Matrix-Tree Theorem)

树有很多种形态,给定结点个数,求生成不同形态二叉树的个数,显然要用到Catalan数列。

那如果给定一个图(Graph)\(G=(V,E)\),要求其最小生成树G',最好的方法莫过于Prim或Kruskal了。

Boruvka's_algorithm_(Sollin's_algorithm)_Anim

上图就是一种求最小生成树的方法。

可要求图G中不同生成树的总个数呢?
这里要用到Kirchhoff's theoreom,一个神奇的定理。

这里只做简单的介绍,并不给出严格的证明。
详细内容请参见Wikipedia::Kirchhoff's theorem
以及芜湖一中 周冬さん的生成树的计数及其应用 论文版


符号约定:

  • \(G\)
  • 度数矩阵\(D[G]\)
  • 邻接矩阵\(A[G]\),其中,若存在边\((v_i,v_j)\),则记\(a_{ij}=a_{ji}=1\)
  • Kirchhoff矩阵\(C[G]=D[G]-A[G]\)

删去\(C[G]\)中的第r行第r列,得到\(C_r[G]\)

计算\(C_r[G]\)的行列式\(det C_r[G]\),得出的结果记为\(d\)
\(G\)的生成树个数\(t(G)=|d|\)


至此,我们解决了这个不常见的问题。

posted on 2016-07-04 15:27  Chuckqgz  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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