二分 P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头

二分 P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头

题目背景

NOIP2015 Day2T1

题目描述

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了！

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 \(N\) 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 \(M\) 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 \(L,N,M\)，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 \(L \geq 1\) 且 \(N \geq M \geq 0\)。

接下来 \(N\) 行，每行一个整数，第 \(i\) 行的整数 \(D_i\,( 0 < D_i < L)\)， 表示第 \(i\) 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

25 5 2 
2
11
14
17 
21

输出 #1

4

说明/提示

输入输出样例 1 说明

将与起点距离为 \(2\) 和 \(14\) 的两个岩石移走后，最短的跳跃距离为 \(4\)（从与起点距离 \(17\) 的岩石跳到距离 \(21\) 的岩石，或者从距离 \(21\) 的岩石跳到终点）。

数据规模与约定

对于 \(20\%\)的数据，\(0 \le M \le N \le 10\)。
对于 \(50\%\) 的数据，\(0 \le M \le N \le 100\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(0 \le M \le N \le 50000,1 \le L \le 10^9\)。

思路

这道题用二分做。（应该是二分枚举+检验）

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首先，知道了最后答案的范围，就是区间 \([0,L]\)。

二分一般用在最小值最大和最大值最小的问题中，这里 “最短跳跃距离的最大值” 就是属于最小值最大问题。

那么，就可以通过二分不断逼近最终答案。

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其次，对于检验函数 bool check(int d)，是在检验当前枚举的跳跃距离 \(d\) 是否合法。

\(d\) 的合法性就是看看这个跳跃距离在这个序列中能不能达到。

预设：要移除的石头数 = 0，用于计算两石头间跳跃距离的 “定位” 石头到原点距离 = 0。

对于跳跃距离 \(d\) 的合法性讨论可得：

对起终点之间的 \(N\) 个石头进行遍历，如果发现更小的距离，则要移除的石头数 +1；

否则把 “定位” 石头更新为当前石头（此时发现距离大于要判断的最短距离 \(d\) ，必须更新定位，要不然后面距离值会更大，没有比较的必要）。

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注意：起点石头默认 stone[0] = 0，可以不写；终点石头 stone[n + 1] = L。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 5;
int stone[maxn], L, N, M;

bool check(int d)	// 看跳跃距离是否合法
{
	int last = 0;	// 上一个石头到原点的距离
	int cnt = 0;	// 计数器
	for (int i = 1; i <= N; i++) {	// 只动起点和终点间的石头
		if (stone[i] - last < d) cnt++;
		else last = stone[i];
	}
	if (cnt > M) return 0;	// 要移走的个数大于M，不合法
	else return 1;
}

int main()
{
	cin >> L >> N >> M;
	// stone[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++) cin >> stone[i];
	stone[++N] = L;		// 这里一共有N + 2个石头（包括起点和终点）
	// 遍历从0到L的所有距离，找二分答案
	int l = 0, r = L;
	while (l < r) {
		int mid = (l + r + 1) >> 1;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	cout << l;
	
	return 0;
}