概率论与数理统计 几个重要分布函数

概率论与数理统计 几个重要分布函数

一、离散型

(1)两点分布 /(0-1分布)

\(X\) \(0\) \(1\)
\(P\) \(1-p\) \(p\)

(2)二项分布

\(X\sim B(n,p)\)

\(P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\)

​ 当 \(n=1\)\(X\sim B(1,p)\) 即为 \((0-1)\) 分布。

(3)泊松分布

\(X\sim P(\lambda)\)

\(P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-k}}{k!},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\nonumber\)

(4)几何分布

\(X\sim G(p),\ 0<p<1\)

\(P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},\ k=1,2\cdots\)

二、连续型

(1)均匀分布

\(X\sim U(a,b)\)

\[\begin{align} f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}\quad &x\in (a, b) \\[2mm]\nonumber 0\quad &else\nonumber \end{cases} \end{align} \]

(2)指数分布

\(X\sim Exp(\lambda)\)

\[\begin{align} f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &x>0 \\[2mm]\nonumber 0\quad &x\leq0\nonumber \end{cases} \end{align} \]

(3)正态分布

\(X\sim N(\mu, \sigma ^2)\)

\[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

​ 若 \(\mu=0,\ \sigma=1\),为标准正态分布 \(\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}},\ x\in R\)

​ 1)\(f(x)\) 关于 \(\mu\) 对称

​ 2)\(\sigma\downarrow \ f(\mu)\uparrow\)

​ 3)\(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\),即标准正态分布。

posted @ 2025-03-30 13:03  AKgrid  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报