概率论与数理统计 几个重要分布函数

概率论与数理统计 几个重要分布函数

一、离散型

（1）两点分布 /（0-1分布）

\(X\)	\(0\)	\(1\)
\(P\)	\(1-p\)	\(p\)

（2）二项分布

​ \(X\sim B(n,p)\)

​ \(P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\)

​ 当 \(n=1\)，\(X\sim B(1,p)\) 即为 \((0-1)\) 分布。

（3）泊松分布

​ \(X\sim P(\lambda)\)

​ \(P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-k}}{k!},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\nonumber\)

（4）几何分布

​ \(X\sim G(p),\ 0<p<1\)

​ \(P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},\ k=1,2\cdots\)

二、连续型

（1）均匀分布

​ \(X\sim U(a,b)\)

\[\begin{align} f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}\quad &x\in (a, b) \\[2mm]\nonumber 0\quad &else\nonumber \end{cases} \end{align} \]

（2）指数分布

​ \(X\sim Exp(\lambda)\)

​

\[\begin{align} f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &x>0 \\[2mm]\nonumber 0\quad &x\leq0\nonumber \end{cases} \end{align} \]

（3）正态分布

​ \(X\sim N(\mu, \sigma ^2)\)

​

\[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

​ 若 \(\mu=0,\ \sigma=1\)，为标准正态分布 \(\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}},\ x\in R\)。

​ 1）\(f(x)\) 关于 \(\mu\) 对称

​ 2）\(\sigma\downarrow \ f(\mu)\uparrow\)

​ 3）\(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，即标准正态分布。