概率论与数理统计 几个重要分布函数
概率论与数理统计 几个重要分布函数
一、离散型
(1)两点分布 /(0-1分布)
\(X\) | \(0\) | \(1\) |
---|---|---|
\(P\) | \(1-p\) | \(p\) |
(2)二项分布
\(X\sim B(n,p)\)
\(P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\)
当 \(n=1\),\(X\sim B(1,p)\) 即为 \((0-1)\) 分布。
(3)泊松分布
\(X\sim P(\lambda)\)
\(P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-k}}{k!},\ k=0,1,2\cdots\\[2mm]\nonumber\)
(4)几何分布
\(X\sim G(p),\ 0<p<1\)
\(P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},\ k=1,2\cdots\)
二、连续型
(1)均匀分布
\(X\sim U(a,b)\)
\[\begin{align}
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}\quad &x\in (a, b) \\[2mm]\nonumber
0\quad &else\nonumber
\end{cases}
\end{align}
\]
(2)指数分布
\(X\sim Exp(\lambda)\)
\[\begin{align}
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} &x>0 \\[2mm]\nonumber
0\quad &x\leq0\nonumber
\end{cases}
\end{align}
\]
(3)正态分布
\(X\sim N(\mu, \sigma ^2)\)
\[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
若 \(\mu=0,\ \sigma=1\),为标准正态分布 \(\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}},\ x\in R\)。
1)\(f(x)\) 关于 \(\mu\) 对称
2)\(\sigma\downarrow \ f(\mu)\uparrow\)
3)\(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\),即标准正态分布。