中国剩余定理

\[\begin{cases} x\equiv a_1\ (mod\ m_1)\\[2mm] x\equiv a_2\ (mod\ m_2)\\[2mm] \quad\vdots \\[2mm] x\equiv a_r\ (mod\ m_r)\\[2mm] \end{cases} \]

问题

对于以上同余方程组，求解改同余方程组的未知数 \(x\) 。

中国剩余定理(CRT)

设 \(m_1,m_2,...,m_r\) 为两两互质的正整数，则同余方程组有整数解。

所有模数的积 \(M=m_1m_2\cdots m_r\)
计算第 \(i\) 个方程的 \(c_i=\dfrac{M}{m_i}\)
计算 \(c_i\) 模 \(m_i\) 意义下的逆元 \(c_{i}^{-1}\)
结果 \(x=\sum_{i=1}^{n}r_ic_ic_{i}^ {-1}\ (mod\ M)\\\)

由于一般题目中的 \(m_1,m_2,...,m_r\) 不会交代是否两两互质，所以不能用中国剩余定理直接求解。

这是需要扩展中国剩余定理求解。

扩展中国剩余定理(EXCRT)

问题改为求 \(x\) 的最小非负整数解。

对于前两个方程 \(x\equiv a_1\ (mod\ m_1)\) 和 \(x\equiv a_2\ (mod\ m_2)\) ，

可以转化为丢番图方程 \(x=m_1p+a_1=m_2q+a_2\) 。

所以，\(m_1p-m_2q=a_2-a_1\)。

由裴蜀定理

当 \((m_1,m_2)\nmid (a_2-a_1)\) 时，无解。

当 \((m_1,m_2)\mid (a_2-a_1)\) 时，有解。

由扩欧算法

\(exgcd\) 函数返回值 \(p,q\)，可以得到特解 \(p_0=p\times \dfrac{a_2-a_1}{(m_1,m_2)},q_0=q\times \dfrac{a_2-a_1}{(m_1,m_2)}\) ，

通解为 \(P=p_0+\dfrac{m_2}{(m_1,m_2)}\)，\(Q=q_0 -\dfrac{m_1}{(m_1,m_2)}\)。

所以 \(x=m_1P+a_1=\dfrac{m_1m_2}{(m_1,m_2)}\times k+m_1\cdot p_0+a_1\)。

数论中我们记 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍数为 \([a,b]\) 。

前两个方程等价合并为一个方程 \(x\equiv a\ (mod\ m)\)，

其中 \(a=m_1p_0+a_1\)，\(m=lcm(m_1,m_2)=[m_1,m_2]\)。

所以 \(n\) 个同余方程只要合并 \(n -1\) 次，即可求解。

[AcWing204] 表达整数的奇怪方式

题目描述

给定 \(2n\) 个整数 \(a_1,a_2,…,a_n\) 和 \(m_1,m_2,…,m_n\)，求一个最小的非负整数 \(x\)，满足 \(\forall i \in [1,n],x \equiv m_i(mod\ a_i)\)。

输入格式

第 \(1\) 行包含整数 \(n\)。

第 \(2…n+1\) 行：第 \(i+1\) 行包含两个整数 \(a_i\) 和 \(m_i\)，数之间用空格隔开。

输出格式

输出最小非负整数 \(x\)，如果 \(x\) 不存在，则输出 \(-1\)。

数据范围

\(1 \le a_i \le 2^{31}-1\),
\(0 \le m_i < a_i\)
\(1 \le n \le 25\)
所有 \(m_i\) 的最小公倍数在 \(64\) 位有符号整数范围内。

输入样例：

2
8 7
11 9

输出样例：

算法

扩展中国剩余定理模版题。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 30;
ll a[N],m[N];
int n;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d,x1,y1;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return d;
}

ll excrt(ll a[], ll m[])
{
    ll m1, m2, a1, a2, p, q;
    m1 = m[1], a1 = a[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        m2 = m[i], a2 = a[i];
        ll d = exgcd(m1, m2, p, q);// d=(m1,m2)，同时计算m1p+m2q=1的特解(q=-y)
        if ((a2 - a1) % d) return -1;
        p = p * (a2 - a1) / d;// 这是m1p+m2q=a2-a1特解
        // 保证m2/d为正数
        p = (p % abs(m2 / d) + abs(m2 / d)) % abs(m2 / d);// 由于p可能是整数，需要加余取余操作变为最小正整数
        a1 = m1 * p + a1;
        m1 = m1 * m2 / d;
    }
    return (a1 % m1 + m1) % m1;// 同上
}

int main()
{
    cin >> n;
    // 这里与题目相反，一般是m是余数
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> m[i] >> a[i];
    cout << excrt(a, m) << endl;
    
    return 0;
}

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

题目描述

给定 \(n\) 组非负整数 \(a_i, b_i\) ，求解关于 \(x\) 的方程组的最小非负整数解。

\[\begin{cases}x\equiv b_1\pmod{a_1}\\x\equiv b_2\pmod{a_2}\\\dots\\x\equiv b_n\pmod{a_n}\end{cases} \]

输入格式

输入第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行两个非负整数 \(a_i, b_i\)。

输出格式

输出一行，为满足条件的最小非负整数 \(x\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n \le {10}^5\)，\(1 \le b_i,a_i \le {10}^{12}\)，保证所有 \(a_i\) 的最小公倍数不超过 \({10}^{18}\)。

请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。

数据保证有解。

算法

同样为扩展中国剩余定理的板子题。

但是注意不要越界，函数 \(mul\) 和 \(get\) 就在解决这个问题。

\(mul\) 函数可以快速计算 \(a\times b\ \% \ m\)，所以利用它可以计算 \(p=p_0\times\lvert\dfrac{(a2-a1)}{(m1,m2)}\rvert\ \%\ \dfrac{m2}{(m1,m2)}\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
ll a[N], b[N];
int n;

ll mul(ll a, ll b, ll m)// 计算a * b % m
{
    auto res = 0ll;
    while (b){
        if (b & 1) res = (res + a) % m;
        a = (a + a) % m;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

inline ll get(ll a, ll b)// 保证最小整数
{
    return (a % b + b) % b;
}

ll excrt(ll a[], ll m[])
{
    ll m1, m2, a1, a2, p, q;
    m1 = m[1], a1 = a[1];
    auto ans = 0ll;
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        m2 = m[i], a2 = a[i];
        ll d = exgcd(m1, m2, p, q);
        // 合并成ap + bq = c
        ll a = m1, b = m2, c = get(a2 - a1, m2);
        if (c % d) return -1;
        p = mul(p, c / d, b / d);
        ans = a1 + m1 * p;
        m1 = m2 / d * m1;
        ans = get(ans, m1);
        a1 = ans;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    IOS;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i];
    cout << excrt(b, a) << endl;
    return 0;
}

posted @ 2025-02-14 01:20 AKgrid 阅读(56) 评论(0) 收藏举报

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