exgcd

定义

又名扩展欧几里得算法（辗转相除法）

是用来求 $ax+by=gcd(a,b)$ 中未知数的算法

算法证明

拿到一组 $a,b$ ，设 $G=gcd(a,b)$

目标：求出满足 $ax+by=G（1）$ 的 $x$ 与 $y$

如果已知一组 $x_2,y_2$ ，满足 $bx_2+$ $(a\bmod b)y_2=G（2）$

此时结合 $(1)(2)$ 得
$ax+by=$ $bx_2+$ $(a\bmod b)y_2（3）$

那么当如果满足时，目标就成了求满足 $(3)$ 的 $x,y$，其中 $a,b,x_2,y_2$ 均已知

根据取模运算是 $a\bmod b=a-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor$
所以方程 $(3)$ 实则是

$ax+by=bx_2+(a-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor)y_2$

$->$ $ax+by=bx_2+ay_2-b\times \lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2$

$->$ $ax+by=ay_2+b(x_2-\lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2)$

那么在根据方程 $ax+by=G（1）$ 得出一组必然的解：

$x=y_2,y=x_2-\lfloor{\dfrac{a}{b}}\rfloor y_2（4）$

可见只需求出 $x_2,y_2$ ，就能求出正确的 $x,y$，问题就转化成了求 $x_2,y_2$

将方程 $(1)$ 与 $(2)$ 对比一下：

$ax+by=G（1）$

$bx_2+$ $(a\bmod b)y_2=G（2）$

发现原方程的 $a$ 变成了 $b$，原方程的 $b$ 变成了 $a$ 而已

所以新的方程也可以看做 $ax+by=G$ 的形式，然后按照上面的程序进行下来，发现问题又变为求 $x_3,y_3$ 再求 $x_4,y_4$ $......$ 即一个递归的过程

递归过程中 $a,b$ 不断被替换为 $b,a\bmod b$，这个过程和普通的欧几里得是一样的，所以最后会出现 $a_n=G,b_n=0$

那么这特就是最后一层，此时就要直接返回了，需要一组 $x_n,y_n$ 满足 $a_nx_n+b_ny_n=G（5）$，然而 $a_n=G,b_n=0$，所以只要 $(5)$ 的 $x_n$ 取 $1$ 就必定满足了，$y_n$ 就随便取个 $0$ 就行了

最后一层结束后，就开始返回，知道最上一层，每一层都可以通过下一层的 $x_{k+1},y_{k+1}$ 求出当前层的 $x_k,y_k$

整个过程就是：以辗转相除的方式向下递进，不断缩小系数，保证会出现有确定解的最后一层

exgcd板子

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

$注意：x,y不要忘了取地址！$

答案处理

对于更为一般的方程，$ax+by=c$，他有解当切仅当 $c\bmod d=0$（设 $d=gcd(x,y)$）。通过 $exgcd$ 求出一组特解 $x_0,y_0$，令他们同时 $\times c/d$，就得到了 $ax+by=c$ 的一组特解 $\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0,\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0$

事实上，方程 $ax+by=c$ 的通解可以表示为：

$x=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor$ $，$ $y=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0-k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor$

其中 $k$ 取遍正数集合，其余量上面已设

例题1：同余方程

题目链接同余方程

问题处理

题目问的是满足 $ax\bmod b=1$ 的最小正整数（a,b均为正整数）

问题可以转化成求 $ax+by=1$ 中 $x$ 的值，其中 $y$ 是个引入的辅助数（y一定是一个负数，但是写成 $+$ 的形式以便 $exgcd$ 算法）

问题仍需转化，$exgcd$ 求得是 $ax+by=gcd(a,b)$，所以求方程 $ax+by=m$ 必须满足的条件就是 $m\bmod gcd(a,b)=0$

简单证明一下：

由最大公因数的定义，$a,b$ 均是 $gcd(a,b)$ 的倍数，因为 $m=ax+by$，所以 $m$ 一定是 $gcd(a,b)$ 的倍数，即 $m\bmod gcd(a,b)=0$

可得这道题中，必须满足 $1\bmod gcd(a,b)=0$，那么 $gcd(a,b)$ 就必须等于 $1$ 了，即 $a,b$ 互质（数据一定是满足的）

之后通过上述的 $exgcd$ 算法即可，但是题目要求 $x$ 的最小值，仅仅 $exgcd$ 无法满足，所以需要答案处理

答案处理

求出来的 $x,y$ 仅仅满足 $ax+by=1$，而 $x$ 不一定是最小正整数解。有可能太大，也可能是负数

解决方案是：$x$ 批量地减去或加上 $b$，能保证 $ax+by=1$，因为：

$ax+by=1$

$-> ax+by+k\times ba-k\times ba=1$

$-> a(x+kb)+(y-ka)b=1$

1.显然这并不会把方程中的任何整数变为非整数

2.加上或减去 $b$ 不会使 $x$ 错过任何解，可以这么理解：

已经求出一组 $x,y$ 使得 $ax+by=1$，也就是 $(1-ax)\div b=y$，$y$ 是整数，可见目前 $1-ax$ 是 $b$ 的倍数

现在给 $x$ 加上 $kb$（k为整数），则变为：

$(1-a(x+kb))\div b$

$=(1-ax)\div b+ak$

仍满足其为 $b$ 的倍数，由此当 $x$ 的变化量为 $b$ 的倍数时，等式仍满足

因此到最后，如果 $x$ 太小就不断 $+b$ 直到 $>=0$，反之则一直减直到最小正整数值，就是这么写

x=(x%b+b)%b;

总代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
int a,b,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(a),read(b);
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    cout<<x;
}

例题2：青蛙的约会

题目链接青蛙的约会

问题处理

两点在数轴上，$A,B$，$A$ 在 $x$，这个位置，$B$ 在 $y$ 这个位置，数轴长度为 $l$， $A$ 每次向右移 $m$ 个长度，$B$ 每次向右移 $n$ 个长度，题意表明他是一个环，也就是说 $A_k$ 下一次 $A_{k+1}$ 到达 $(A_k+m)\bmod l$ 的位置，$B_k$ 下一次 $B_{k+1}$ 到达 $(B_k+n)\bmod l$ 的位置

设他跳 $k$ 次后相遇，即 $A_k=B_k$

带进去就是 $(x+km)\bmod l=(y+kn)\bmod l$

$引入一条性质：$

左右括号内同时减（加）去一个数等式仍然成立：

如果 $a\bmod P=b\bmod P$

则 $(a-c)\bmod P=(b-c)\bmod P$

那么原式就可以变为

$->((x-y)+km)\bmod l=kn\bmod l$ (左右两边括号内同时减去 $y$ )

$->((x-y)+k(m-n))\bmod l=0$ (左右两边同时减去 $kn$ )

那么根据该方程，$(x-y)+k(m-n)$ 一定是 $l$ 的倍数，不妨设 $(x-y)+k(m-n)=-t\times l$ ( $-t$ 为新设的倍数值)

$->k(m-n)+tl=y-x$ (现在知道为什么设 $-t$ 了吧)

于是终于将推导式转化成了 $exgcd$ 的形式，$k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)$ ，借鉴上一道题的证明，$y-x$ 一定是 $gcd(m-n,l)$ 的倍数

就需要思考一下数据是否满足，题目要求如果两点永远无法相遇则输出 $Impossible$，所以如果不满足 $y-x$ 是 $gcd(m-n,l)$ 的倍数时，输出 $Impossible$ 即可

用 $exgcd$ 求出 $k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)$ 的 $k$ 之后，对他进行答案处理即可

答案处理

1.借鉴上题的答案处理，我们刚刚求出来的时第一层的结果，但他显然不一定是第一次相遇的结果，例题1答案处理的式子是 $x=(x\bmod b+b)\bmod b$

2.我们导出来的是 $k(m-n)+tl=y-x$，而他求的是 $k(m-n)+tl=gcd(m-n,l)$，满足 $y-x$ 是 $gcd(m-n,l)$ 的倍数，所以真正的答案应该是求出的答案 $\times (y-x)\div gcd(m-n,l)$，设 $c=y-x,d=gcd(m-n,l)$，则答案应 $\times c/d$

借鉴这两点，推导出这道题的答案处理式子为

x=((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d);

$x$ 表示求出来那个 $k$，$b$ 表示 $l$，$c,d$ 上面已设，之前的 $b$ 也 $\div d$

总代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
int x,y,n,m,l,xx,yy;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(xx),read(yy),read(m),read(n),read(l);
    int a=m-n,b=l,c=yy-xx;
    if(a<0) a=-a,c=-c;
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if((c%d)!=0) cout<<"Impossible";
    else cout<<(((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d));
}

注意事项

放到 $exgcd$ 里的这个 $a$ 需要保证是正的，同时 $m-n$ 对应的一定是 $y-x$，反之，如果 $(m-n)<0$，将他改为 $n-m$ 的同时，$y-x$ 也要改为 $x-y$，即代码中的这一行

int a=m-n,b=l,c=yy-xx;
if(a<0) a=-a,c=-c;

例题3：倒酒

题目链接倒酒

问题处理

问题比较简单，也不需要怎么证明，输入 $a,b$

显然，能够倒出的最小数为 $d=gcd(a,b)$

而倒 $A$ 的次数 $x$ 和倒 $B$ 的次数 $y$ 满足 $by-ax=d$

放到 $exgcd$ 中即可

答案处理

难点在于答案处理，怎么搞出来最小解？

显然，求出的 $x$ 为负的，所以输出的应为 $-x$

那我们按照前两题的思路这么打

x=(x%m-m)%m;
y=(y%n+n)%n;

但是这样是错误的，$Wa$ $90分$

根据我们上面打过的总的答案处理，$x=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor $ $，$ $y=\lfloor{\dfrac{c}{d}}\rfloor y_0-k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor$，本道题的 $c=d$，所以 $x=x_0+k\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor$ $，$ $y=y_0+k\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor$

同时保证最后输出的是正的最小值，先让 $x$ 和 $a$ 变成 $-x,-a$，因为我们求出来的这个 $x$ 显然是负数

之后，在保证 $x,y$ 均 $>0$ 的前提下不断地枚举这个 $k$，根据上面这个公式：

当 $x<0$ 时，让他不断加上 $\lfloor{\dfrac{b}{d}}\rfloor$ ，当他大于 $0$ 的一瞬间，就是正的最小值

同理，当 $x>=0$ 时，$y$ 做出对应调整，不断地减去 $\lfloor{\dfrac{a}{d}}\rfloor$

如下

x*=-1;a*=-1;
while((x<0)||(y<0))
    x+=(x<0)?b/d:0,
    y-=(x>=0)?a/d:0;

需着重理解一下

总代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
int x,y,n,m;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
signed main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(n),read(m);
    int d=exgcd(n,m,x,y);
    x*=-1;n*=-1;
    while((x<0)||(y<0))
        x+=(x<0)?m/d:0,
        y-=(x>=0)?n/d:0;
    cout<<d<<endl<<x<<' '<<y;
}

例题4：一元二次不定方程（模板）

题目链接一元二次不定方程

问题处理

给定一式子 $ax+by=c$

求 $x_{min},y_{min}$
求 $x_{max},y_{max}$
求解的个数

求 $x_{min},y_{min}$

通过 $exgcd$ 很容易求出 $x,y$，在通过简单的答案处理即可求出 $x_{min},y_{min}$

求 $x_{max},y_{max}$

不难理解，当 $x$ 为最大值时，即对应 $y$ 的最小值，同理通过此方式可求出 $y$ 的最大值

求解的个数

现拿到一组解 $ax_{min}+y_{max}=c$

使 $x$ 不断加上 $b$，使 $y$ 不断减去 $a$，直到 $ax_{max}+by_{min}=c$

这样就求出了不定方程的所有解，不难发现，此过程中，共出现了 $\lfloor\dfrac{x_{max}-x_{min}}{b}\rfloor +1$ 或者说 $\lfloor\dfrac{y_{max}-y_{min}}{a}\rfloor +1$ 组解，即解的个数

答案处理

首先设 $x=x_{min},y=y_{min},d=\gcd(a,b)$

处理最小值

借鉴例题2和总答案处理中的通解，$x_{min},y_{min}$ 的答案处理为

x=(x*(c/d)%(b/d)+(b/d))%(b/d);
y=(y*(c/d)%(a/d)+(a/d))%(a/d);

但同时，题目要求 $x,y$ 均为正整数，所以 $0$ 也不行，故还需要

x=(x?x:x+(b/d)),y=(y?y:y+(a/d));

处理最大值

根据我们问题处理中最大值的求法，得出最大值为

x_max=(c-y*b)/a,y_max=(c-x*a)/b;

处理解的个数

直接根据我们上面推出的式子

ans=(x_max-x)/(b/d)+1;

或者

ans=(y_max-y)/(a/d)+1;

最后注意

题目要求若不存在 $x,y$ 均为正整数的解，只输出 $x_{min},y_{min}$,只需要判断 $x_{max},y_{max}$ 中是否存在 $\leq 0$ 的即可

总代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define endl '\n'
using namespace std;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
    x=0;register bool z=1;
    register char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x=(z?x:~x+1);
}
int T,a,b,c,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(a),read(b),read(c);
        x=y=0;
        int d=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%d) 
        {
            cout<<-1<<endl;
            continue;
        }
        x=((x*(c/d))%(b/d)+(b/d))%(b/d);
        y=((y*(c/d))%(a/d)+(a/d))%(a/d);
		x=(x?x:x+(b/d)),y=(y?y:y+(a/d));
        int x_max=(c-y*b)/a,y_max=(c-x*a)/b,ans=(y_max-y)/(a/d)+1;
        if(x_max<=0||y_max<=0) cout<<x<<' '<<y<<endl;
        else cout<<ans<<' '<<x<<' '<<y<<' '<<(c-y*b)/a<<' '<<(c-x*a)/b<<endl;
    }
}

posted @ 2023-12-30 19:14 卡布叻_周深阅读(35) 评论(2) 编辑收藏举报

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卡布叻_周深

风雨同周，深情不移

exgcd

定义

算法证明

exgcd板子

答案处理

例题1：同余方程

题目链接同余方程

问题处理

答案处理

总代码如下

例题2：青蛙的约会

题目链接青蛙的约会

问题处理

答案处理

总代码如下

注意事项

例题3：倒酒

题目链接倒酒

问题处理

答案处理

总代码如下

例题4：一元二次不定方程（模板）

题目链接一元二次不定方程

问题处理

求 \(x_{min},y_{min}\)

求 \(x_{max},y_{max}\)

求解的个数

答案处理

处理最小值

处理最大值

处理解的个数

最后注意

总代码如下

公告

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风雨同周，深情不移

exgcd

定义

算法证明

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答案处理

例题1：同余方程

题目链接 同余方程

问题处理

答案处理

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例题2：青蛙的约会

题目链接 青蛙的约会

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答案处理

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注意事项

例题3：倒酒

题目链接 倒酒

问题处理

答案处理

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例题4：一元二次不定方程（模板）

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问题处理

求 \(x_{min},y_{min}\)

求 \(x_{max},y_{max}\)

求解的个数

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处理最小值

处理最大值

处理解的个数

最后注意

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