第三次作业

1最优子结构与递归方程式
我采用自底向上的递推方法，递归方程：dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]，dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
边界条件为最后一行直接等于原三角形对应位置的值：dp[n][j]=a[n][j],j=1,2,…,n
dp[n][j]=a[n][j],j=1,2,…,n
原问题的最优解为dp[1][1]dp[1][1]。
2 填表法
表的维度：二维表 dp[n][n]dp[n][n]，实际使用下三角形式存储（第 i 行有 i 个元素）。
填表范围：行 ii 从 nn 到 11（从最后一行向上填），列 jj 从 11 到 ii。
填表顺序：自底向上，在每一行内按任意顺序（通常从左到右）填写，因为当前行只依赖于下一行。
原问题的最优值：存储在 dp[1][1]dp[1][1] 中。
3 算法复杂度分析
时间复杂度：共有 n(n+1)22n(n+1)个状态，每个状态的计算时间为 O(1)
O(1)，因此总时间复杂度为 O(n^2)O(n2)。
空间复杂度：如直接使用二维 dpdp 数组，空间复杂度为 O(n2)O(n 2)；但可优化至 O(n)O(n)，因为计算 dp[i]dp[i] 时仅依赖于 dp[i+1]dp[i+1]，只需保留一行状态。
对动态规划算法的理解与体会
动态规划的核心在于最优子结构与重叠子问题。在本问题中，最大路径问题可分解为从每个点出发的子问题，且这些子问题被多次重复利用。通过列表存储子问题的解，避免了重复计算，显著提高效率。
状态定义和递推方向的选择至关重要：自底向上通常更直观且易于实现空间优化，而自顶向下（记忆化搜索）更符合自然思路但递归有额外开销。
此外，动态规划训练我们抽象状态、确定转移方程以及处理边界条件的能力，是解决最优化问题的强大工具。