广义串并联图

\(\text{Part 0}\)

以防自己学了又忘，所以开个坑。

这种板板的东西要是在考场上遇到了但是想不起来还是十分可惜的。

\(\text{Part 1}\)

广义串并联图指一类不存在同胚于 \(K_4\) 的子图的图，即不存在四个点 \(a,b,c,d\) 使得这四个点之间存在六条除顶点外不相交的路径连接每一对点。而广义串并联图经过以下的操作后可以变为一个点：

• 删一度点：选择一个度数为 \(1\) 的点并删掉它和与它连接的边。
• 缩二度点：选择一个度数为 \(2\) 的点，用一条边替换它和与它相连的两条边。
• 叠重边：选择两条重边，用一条边替换它们。

我们称以上的方法为广义串并联图方法。广义串并联图在正常的题目中十分罕见，所以我们一般使用的都是广义串并联图方法。当我们在见到 \(m \le n + k\) 的时候，我们会考虑使用广义串并联图方法。

Lemma:

任意一张图在经过广义串并联图方法后的点数在 \(\mathrm O(k)\) 级别。

Proof:

做完以上的操作之后，我们知道一定只剩度数 \(\ge 3\) 的点了，所以 \(3n \le 2m\)。那么我们就有 \(n \le 2k,m \le 3k\)。所以我们在操作完之后的点就在 \(\mathrm O(k)\) 级别的了。

考虑怎么去做哪些操作。我们可以考虑用 map 维护所有的边，然后用队列维护度数 \(\le 2\) 的点，然后重复操作即可。

\(\text{Part 2}\)

定义一张广义串并联图的串并联树为：

1. 删 \(1\) 度点操作：将被删除点 \(x\)，与其相连的边 \(a\) 和 \(a\) 的另一个端点 \(z\) 对应的树上节点 \(v_x,v_a,v_z\) 的父亲设为 \(v^{\prime}\)，然后将点 \(z\) 对应的树上节点设为 \(v^{\prime}\)。
2. 缩 \(2\) 度点操作：将被删除点 \(x\) 和与其相连的两条边 \(a,b\) 对应的树上节点 \(v_x,v_a,v_b\) 的父亲设为 \(v^{\prime}\)，然后将建立的新边对应的树上节点设为 \(v^{\prime}\)。
3. 叠重边操作：将两条重边 \(a,b\) 对应的树上节点 \(v_a,v_b\) 的父亲设为 \(v^{\prime}\)，然后将合并后的边对应的树上节点设为
   \(v^{\prime}\)。

串并联树有以下的性质：

1. 每一个树上节点唯一对应图上的一个点或一条边，初始图 \(G\) 中每一个点或一条边唯一对应一个树上叶子节点。
2. 每一个非叶子节点也对应一个收缩操作。
3. 串并联树是一棵三叉树。

注意，你只有在广义串并联图上才建得出来串并联树。

定义串并联树上节点 \(u\) 的内部图 \(G^{\prime}_u\) 为初始图 \(G\) 的一个子图。

1. 如果点 \(u\) 在图上对应的是一个点，那么对于初始图 \(G\)，如果图上的一个点或一条边对应的树上叶子节点在点 \(u\) 的子树中，那么这个点或边属于 \(G_u^{\prime}\)。

2. 如果点 \(u\) 在图上对应的是一条边，设这条边为 \((x,y)\)，那么对于初始图 \(G\)，如果图上的一个点或一条边对应的树上叶子节点在点 \(u\) 的子树中，那么这个点或边属于 \(G^{\prime}_u\)，且点 \(x\) 和点 \(y\) 也属于 \(G^{\prime}_u\)。

同时定义外部图为先进行所有在点 \(u\) 子树内的收缩操作后的图。此时称分割点为内部图和外部图的交集，当树上的节点 \(u\) 在原图中表示的是一个节点，则只有一个分割点。如果为一条边，则有两个分割点。

\(\text{Part 3}\)

\(\text{Example 0}\)

基础练习题。请读者自行完成。

code。

\(\text{Example 1}\)

直接猜测这个图是一个广义串并联图，所以考虑用广义串并联图方法。

对于每一条边我们考虑维护 \((f,g)\) 表示这条边在不在生成树上，此时考虑三种操作之后的图长什么样子：

• 删一度点：将这条边的 \(f\) 乘进答案即可。
• 缩二度点：由于这两条边必须有一条在生成树上，同时缩出来的边只有当两条边都存在时才存在，所以我们有：

\[\begin{cases}f_e=f_{e_1}f_{e_2}\\g_e=f_{e_1}g_{e_2}+f_{e_2}g_{e_1}\end{cases} \]

• 叠重边：这两条边不能同时在生成树上，同时，只有两条边都不存在这条边才不存在，所以我们有：

\[\begin{cases}f_e=f_{e_1}g_{e_2}+f_{e_2}g_{e_1}\\g_e=g_{e_1}g_{e_2}\end{cases} \]

由于他是一个广义串并联图所以在完之后我们不需要处理。

\(\text{Example 2}\)

注意到有一个部分分是 \(m \le n + 13\)，那么考虑广义串并联图。

先求出 \(1 \to n\) 的最短路 \(L\)。然后每一次操作的时候维护时维护一下新边的最长距离，具体的：

• 删一度点：由于不能走回头路，所以这个点没有用。
• 缩二度点：新边的权值为原来两边之和。
• 叠重边：新边的边权为原本两边的 \(\max\)。

但是注意我们不能把 \(1,n\) 这两个点删了。在删完点之后，我们发现我们剩下的图么是要么是一条连接 \(1\) 和 \(n\) 的边，要么是剩下一个每个点度数不小于 \(3\) 的图。

注意后面的情况，在 \(1 \to n\) 的若干条路径上，路径上的每个点都至少连出一条横插边，容易发现这样是不能使得所有路径的长度相同的，所以答案是 Yes。

\(\text{Example 3}\)

建出串并联树。

对于一个表示边的叶子结点，我们用一个向量 \((w_{0,0},w_{0,1},w_{1,0},w_{1,1})\) 来描述他，表示左右两边的点分别为黑白状态的权值。

对于一个表节点的叶子结点，我们用一个向量 \((b,w)\) 来表述它，分别表示这个点分别为黑或白状态的权值。

考虑在进行一下的操作会给边权带来什么样的变化：

• 删一度点：对于一个叶子节点 \(v\)，设其父亲节点为 \(u\)。

  1. 假如节点 \(u\) 为白色那么 \(v\) 能带来的贡献即为 \(\max(w_{(u,v),1,1} + w_v,w_{(u,v),1,0} + b_v)。\)
  2. 假如节点 \(u\) 为黑色那么 \(v\) 能带来的贡献即为 \(\max(w_{(u,v),0,0} + b_v,w_{(u,v),0,1} + w_v)\)。

• 缩二度点：对于一个点 \(x\)，其出度为 \(2\)，且两条边分别为 \((x,u),(x,v)\)，则我们有：

  1. \(w_{0,0} = \max(w_{(u,x),0,0} + b_x + w_{(x,v),0,0}, w_{(u,x),0,1} + w_x + w_{(x,v),1,0})\)

  2. \(w_{0,1} = \max(w_{(u,x),0,0} + b_x + w_{(x,v),0,1}, w_{(u,x),0,1} + w_x + w_{(x,v),1,1})\)

  3. \(w_{1,0} = \max(w_{(u,x),1,0} + b_x + w_{(x,v),0,0}, w_{(u,x),1,1} + w_x + w_{(x,v),1,0})\)

  4. \(w_{1,1} = \max(w_{(u,x),1,0} + b_x + w_{(x,v),0,1}, w_{(u,x),1,1} + w_x + w_{(x,v),1,1})\)

• 叠重边：直接相加即可。但需要注意的是 \((u,v)\) 是有序的。所以假如另一条边为 \((v,u)\)，那么需要现将其反转。

如果没有修改的话那么直接在串并联树上直接查，如果有修改那么对于串并联树进行动态 dp 即可。

\(\text{Example 4}\)

注意到题目保证了他是一个广义串并联图，那直接建出其串并联树。

考虑使用树分治，假设现在的分治重心为 \(u\)，那么设 \(u\) 的分割点为 \(p_1,p_2\)（\(p_2\) 可能不存在）。然后统计所有询问中所有满足 \(x\) 属于内部图且 \(y\) 属于外部图的点对 \((x,y)\) 的贡献。

由于 \(x,y\) 的路径一定会经过 \(p_1\) 或者 \(p_2\)，那么我们就可以知道其最短路长度为：

\[dis_{(x,y)} = \min \{dis_{x,p_1} + dis_{y,p_1},dis_{x,p_2} + dis_{y,p_2}\} \]

此时注意到答案取那一边和 \((dis_{x,p_1} - dis_{x,p_2}) + (dis_{y,p_1} - dis_{y,p_2})\) 有关。所以可以考虑将图中所有的点按照其到 \(p_1,p_2\) 的距离之差从小到大排序。在统计完答案之后，如果我们有两个分割点，我们需要加上 \(dis_{p_1,p_2}\)。然后再将内部图和外部图拆开，然后继续递归。

复杂度 \(\mathrm O((n + K) \log^2 n)\)。

\(\text{Part 4}\)

总结一下，当我们见到 \(m \le n + k\) 且 \(k\) 较小的时候，可以考虑使用广义串并联图方法来简化这张图。

如果题目给定了一张广义串并联图，则可以考虑建出一颗串并联树然后再树上进行一些操作。