目的
用于解决一些有(qi)趣(guai)的问题，如：括号匹配问题，凸多边形划分问题，二叉树种类问题等。递推方程为hn=∑ni=1hi−1×hn−i。
为什么凸多边形划分的方案数是Catalan数？
设有一个凸x边形，选择一条边，作一个以这条边为一边的三角形，那么这样就将原x边形分成了三部分：一个m边形，一个三角形，一个x−m+1边形，那么递推方程为fi=∑i−2j=2fj×fi−j+1。
为什么括号匹配的方案数是Catalan数？
括号匹配问题：给你n个左括号，n个右括号，组成一个序列，求合法序列的方案数。
由于最后一个位置一定是一个右括号，那么可以将这个括号与之前的某一个左括号对应起来，因此一个合法的序列A一定可以表示成一个序列B(C)，其中B和C是合法的序列，那么递推方程就是开头给出的那个方程。
为什么一个节点数固定的二叉搜索树的种类是Catalan数？
印点一个节点为根，那么他的左右儿子也一定是一棵合法的二叉搜索树，因此递推方程也是开头给出的那个。
说到这里，Catalan数递推的时间复杂度仍然是O(n2)的，那么有没有通项公式呢？
其实是有的，hi=Cn2n−Cn−12n−1=Cn2nn+1，C是组合数。
证明？
以括号匹配问题为例，假设有一个二进制序列，一共2n项，其中0代表一个右括号，1代表一个左括号。
显然，这个二进制序列一共有Cn2n种排列方式，减去不合法序列的方案数就是卡特兰数的通项公式了。
假设有一个不合法序列，那么必定有一项2m+1，其中前2m项有m个0，m个1，而2m+1项是0，将(2m+2)..2n这些位置全部异或1，那样这样一个序列将是一个有n+1个0，n−1个1的序列，同时一个有n+1个0，n−1个1的序列经过同样的过程也可以变成一个不合法序列。这样就证明了一个不合法的序列和一个有n+1个0，n−1个1的序列构成了一一对应。而显然，这种序列有Cn−12n种，所以hn=Cn2n−Cn−12n。
很显然，这个公式也可以变成hn=Cn2nn+1，那么这个通项公式即可得到证明。
