BZOJ 2891 匹配难题

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2891

题解

Hall定理：

设一个二分图的两边分别为U,V$U,V$，对于点集S∈U$S\in U$，记录adj(S)$adj(S)$为与S$S$直接有边相连的点（邻集），显然adj(S)∈V$adj(S)\in V$。

一个二分图U,V$U,V$有完备匹配的充要条件是：对于任意一个S∈U$S\in U$，|adj(S)|≥|S|$|adj(S)|\ge |S|$。

令题目描述中点的数量为a$a$的那边为U$U$，b$b$为V$V$。

定义Hall集合为满足上述条件的点集，所有的Hall集合的集合为HS集。显然，所有Hall集合都∈U$\in U$。

将所有HS集合对应到一个unsigned long long上面，第k$k$位为1$1$代表HS集合中有二进制状态为k$k$的Hall集合。

由于Hall定理，HS集合的个数不会超过4000$4000$，因此可以用Hash/map映射到一个int上面。

设fi,j$f_{i,j}$代表V$V$集合中已经选择了[1,i]$[1,i]$这些点，U$U$中HS集合在Hash/map中对应的int为j$j$，造成这种情况的概率为fi,j$f_{i,j}$。

如果我们能够求出fi,j$f_{i,j}$，那么最终的答案就是∑fb,HS×Max(HS)$\sum f_{b,HS}\times Max(HS)$，其中Max(HS)$Max(HS)$代表HS$HS$中最大的集合个数。

那么如何求fi,j$f_{i,j}$？显然，f0,∅=1$f_{0,\varnothing }=1$。

考虑j$j$状态能够转移得到的状态，令gj,k$g_{j,k}$为：如果当前的HS为j$j$，新加入的点的邻点为k$k$（k$k$为n$n$个点的二进制状态），那么两个加起来的HS为gj,k$g_{j,k}$（j,gj,k$j,g_{j,k}$为HS的二进制状态对应Hash/map中的int），那么显然有转移：fi,gj,k=fi−1,j+P(i,k)$f_{i,g_{j,k}}=f_{i-1,j}+P(i,k)$（其中P(i,k)$P(i,k)$为i$i$点的邻点的二进制状态为k$k$的概率）。

考虑如何求出gj,k$g_{j,k}$。分情况讨论：

• 如果k$k$只有一个点，不妨设这个点的编号为x$x$。

  那么现在的集合中是HS集合的情况有两种：

  1. 原来就属于HS集合的集合。

  2. 加入了这个点x$x$而变成了HS集合的集合。

     显然，这种集合满足|adj(S)|=|S|$|adj(S)|=|S|$。经过理性分析可以得到：要满足上述条件，原HS集合必须包含S−{x}$S-\{x\}$这个集合。

  因此，gj,k=j+{S∣{x}∈j&(S−{x})∈j}$g_{j,k}=j+\{S\mid \{x\}\in j\mathrm{\&}(S-\{x\})\in j\}$。其中，&$\mathrm{\&}$表示条件之间的与（C++中的&&$\mathrm{\&}\mathrm{\&}$）。

• 如果k$k$有多个点。

  按上面的思路进行分析，显然可以得到：gj,k=j+{S∣x∈k&{x}∈S&(S−{x})∈j}$g_{j,k}=j+\{S\mid x\in k\mathrm{\&}\{x\}\in S\mathrm{\&}(S-\{x\})\in j\}$，其中&$\mathrm{\&}$的意义同上。

那么我们就可以求出g$g$数组了，由于求出的g$g$数组中的元素都是合法的HS集合，因此可以边求g$g$数组边将HS映射到Hash/map中。

时间复杂度：

• 求g$g$数组：
  
  • 第一维O(HS(n))$O(HS(n))$
  • 第二维O(2n)$O(2^n)$
  • 转移O(n)$O(n)$
• 求f$f$数组：
  
  • 第一维O(m)$O(m)$
  • 第二维O(HS(n))$O(HS(n))$
  • 转移O(2n)$O(2^n)$

总时间复杂度：O((n+m)×HS(n)×2n)$O((n+m)\times HS(n)\times 2^n)$，其中HS(n)$HS(n)$代表HS集合中每个元素大小不超过n$n$的集合种类数。

代码

#include <cstdio>
#include <map>
#include <cmath>
#include <algorithm>

typedef unsigned long long ull;

const int maxn=6;
const int maxm=100;
const int maxd=4000;
const int maxk=(1<<maxn);
const double eps=0.001;

int n,m,g[maxd+10][maxk+3],full,cnt,size[maxn+10];
ull t[maxk+3],q[maxd+10];
std::map<ull,int> mp;
double p[maxn+2][maxm+5],f[maxm+5][maxd+10];

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      for(int j=1; j<=m; ++j)
        {
          scanf("%lf",&p[i][j]);
        }
    }
  q[1]=mp[1]=cnt=1;
  int l=0,r=1;
  while(l<r)
    {
      ull now=q[++l];
      for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
          t[i]=now;
          for(int j=0; j<1<<n; ++j)
            {
              if((1ull<<j)&now)
                {
                  t[i]|=1ull<<(j|(1<<(i-1)));
                }
            }
        }
      for(int i=0; i<1<<n; ++i)
        {
          ull to=now;
          for(int j=1; j<=n; ++j)
            {
              if((1<<(j-1))&i)
                {
                  to|=t[j];
                }
            }
          if(!mp.count(to))
            {
              mp[to]=++cnt;
              q[++r]=to;
            }
          g[mp[now]][i]=mp[to];
        }
    }
  f[0][1]=1;
  for(int i=1; i<=m; ++i)
    {
      for(int j=1; j<=cnt; ++j)
        {
          if(f[i-1][j])
            {
              for(int k=0; k<1<<n; ++k)
                {
                  double e=1;
                  for(int h=1; h<=n; ++h)
                    {
                      if((1<<(h-1))&k)
                        {
                          e*=p[h][i];
                        }
                      else
                        {
                          e*=1-p[h][i];
                        }
                    }
                  f[i][g[j][k]]+=f[i-1][j]*e;
                }
            }
        }
    }
  double ans=0;
  for(int i=0; i<1<<n; ++i)
    {
      size[i]=size[i>>1]+(i&1);
    }
  for(int i=1; i<=cnt; ++i)
    {
      if(f[m][i])
        {
          int sz=0;
          for(int j=0; j<1<<n; ++j)
            {
              if((1ull<<j)&(q[i]))
                {
                  sz=std::max(sz,size[j]);
                }
            }
          ans+=f[m][i]*sz;
        }
    }
  printf("%.2lf\n",ans);
  return 0;
}