BZOJ 5399 illustrious

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5399

题解

打表观察f$f$序列，我们发现f(i)$f(i)$就是i$i$这个数在f$f$这个序列中出现的次数。

因此，如果我们暴力算出f$f$的前106${10}^6$项的值，我们就可以求出f$f$的前3×109$3\times {10}^9$项的值。

而g$g$序列是f$f$的前缀和，那么g(n)$g(n)$的含义就是f(x)=n$f(x)=n$的最大的x$x$。

考虑h(n)=h(g(f(n))−f(f(n)))+g(g(n))$h(n)=h(g(f(n))-f(f(n)))+g(g(n))$中每一项的含义。

f(f(n))$f(f(n))$就是f(n)$f(n)$的出现次数。

g(f(n))$g(f(n))$就是序列中最大为f(n)$f(n)$的位置。

那么g(f(n))−f(f(n))$g(f(n))-f(f(n))$就是序列中最大的等于f(n)−1$f(n)-1$的位置，即g(f(n)−1)$g(f(n)-1)$。

因此h(n)$h(n)$就是n$n$位置之前的每一段数的结尾位置的g(g(n))$g(g(n))$之和。

打表发现g(g(n))=∑ni=1i×f(i)$g(g(n))=\sum _{i=1}^{n}i\times f(i)$，可以边算h$h$边算这个。

代码

#include <cstdio>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxm=1000000;
const int mo=998244353;
const int half=(mo+1)>>1;

int f[maxm+10];

int main()
{
  f[1]=1;
  for(int i=2; i<=maxm; ++i)
    {
      f[i]=f[i-f[f[i-1]]]+1;
    }
  int t=read();
  while(t--)
    {
      int n=read(),tot=0,g=0,i=1,res=0;
      while(tot+f[i]<=n)
        {
          int tmp=(2ll*tot+f[i]+1)%mo*f[i]%mo*half%mo;
          g=(g+1ll*tmp*i)%mo;
          res=(res+g)%mo;
          tot+=f[i++];
        }
      if(tot<n)
        {
          int tmp=(1ll*tot+n+1)%mo*(n-tot)%mo*half%mo;
          g=(g+1ll*tmp*i)%mo;
          res=(res+g)%mo;
        }
      printf("%d\n",res);
    }
  return 0;
}