agc005D ~K Perm Counting

题目链接

https://agc005.contest.atcoder.jp/tasks/agc005_d

题意简述

求长度为$n$的排列中$\forall i,|a_i-i|\not= k$的排列总数。

题解

假设满足$|a_i-i|=k$的位置的数量至少有$j$个的排列总数为$g_j$。那么答案就是
$\sum_{i=0}^n (-1)^ig_i (n-i)!$
现在的问题就是怎么求$g_i$。建一个二分图，如果两个点满足：

• 分别在二分图的两侧
• 假设编号为$i,j$，满足$|i-j|=k$

那么就连一条边。这张图上匹配为$i$的方法的总数就是$g_i$。

那么$g_i$？容易发现，这张图是由多条链构成的，将这几条链拼在一起，然后在钦定一些地方不能有匹配的边，这张二分图的匹配数量为$i$的方案数可以很方便的dp求出。

代码

#include <cstdio>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxn=2000;
const int mod=924844033;

int n,k,t,vis[maxn+10][2],a[maxn*2+10],f[maxn*2+10][maxn+10][2],g[maxn+10],ans,fac[maxn+10];

int main()
{
  n=read();
  k=read();
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      for(int j=0; j<2; ++j)
        {
          if(!vis[i][j])
            {
              int len=0;
              for(int x=i,y=j; x<=n; x+=k,y^=1)
                {
                  vis[x][y]=1;
                  ++len;
                }
              t+=len;
              a[t+1]=1;
            }
        }
    }
  f[1][0][0]=1;
  for(int i=2; i<=t; ++i)
    {
      f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+f[i-1][0][1];
      if(f[i][0][0]>=mod)
        {
          f[i][0][0]-=mod;
        }
      for(int j=1; j<=n; ++j)
        {
          f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j][1];
          if(f[i][j][0]>=mod)
            {
              f[i][j][0]-=mod;
            }
          if(!a[i])
            {
              f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0];
            }
        }
    }
  for(int i=0; i<=n; ++i)
    {
      g[i]=f[t][i][0]+f[t][i][1];
      if(g[i]>=mod)
        {
          g[i]-=mod;
        }
    }
  fac[0]=1;
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    }
  for(int i=0; i<=n; ++i)
    {
      ans=(ans+1ll*((i&1)?(mod-1):1)*g[i]%mod*fac[n-i])%mod;
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}