Luogu P4844 LJJ爱数数

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4844

题解

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$

即
$bc+ac=(a+b)c=ab$
设$g=\gcd(a,b),A=\frac{a}{g},B=\frac{b}{g}$，则有
$g(A+B)c=ABg^2\\ (A+B)c=ABg$
由于$c\not= 0,g\not= 0$
$\frac{A+B}{g}=\frac{AB}{c}=k$
假设$k\geq 2$，那么$AB=kc$，由于$\gcd(A,B)=1$，因此$k|A$或$k|B$，不可能同时满足，那么$k\nmid A+B$，但是$A+B=kg$，推出矛盾，因此$k=1$。

那么
$A+B=g,AB=c$
如果已经得到了$g$和$A$，满足题目要求的条件就是
$\gcd(A,g-A)=1,(g-A)A\leq n,Ag\leq n,(g-A)g\leq n$
容易发现
$\gcd(A,g)=1,2\leq g\leq \sqrt{2n},\max(g-\lfloor\frac{n}{g}\rfloor,1)\leq A\leq \min(\lfloor \frac{n}{g}\rfloor,g-1)$
因此反演求出一段区间内与$g$互质的数的个数即可。

注意这题卡时限，必须预处理出每个数的约数，还要用邻接表存，不能用vector，否则会TLE……

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>

template<typename T>
T read()
{
  T x=0;
  int f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxn=1414213;
const int maxm=13288457;

int p[maxn+10],prime[maxn+10],cnt,mu[maxn+10],pre[maxm+10],now[maxn+10],son[maxm+10],tot;

int add(int a,int b)
{
  pre[++tot]=now[a];
  now[a]=tot;
  son[tot]=b;
  return 0;
}

int getprime()
{
  p[1]=mu[1]=1;
  for(int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
      if(!p[i])
        {
          prime[++cnt]=i;
          mu[i]=-1;
        }
      for(int j=1; (j<=cnt)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j)
        {
          int x=i*prime[j];
          p[x]=1;
          if(i%prime[j]==0)
            {
              mu[x]=0;
              break;
            }
          mu[x]=-mu[i];
        }
    }
  for(int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      if(!mu[i])
        {
          continue;
        }
      for(int j=1; j<=maxn/i; ++j)
        {
          add(i*j,i);
        }
    }
  return 0;
}

inline long long solve(int x,int l,int r)
{
  long long ans=0;
  for(int i=now[x]; i; i=pre[i])
    {
      int k=son[i];
      ans+=mu[k]*(r/k-l/k);
    }
  return ans;
}

long long n;

int main()
{
  getprime();
  n=read<long long>();
  long long ans=0;
  int mx=sqrt(2*n)+0.5;
  for(int i=2; i<=mx; ++i)
    {
      ans+=solve(i,std::max(1ll,i-n/i)-1,std::min(n/i,i-1ll));
    }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}