CF457D Bingo!

题目描述：

有一个\(n×n(n≤300)\)的棋盘和\(1~m(n^2≤m≤100000)\) 这些数字。棋盘首先会被随机生成,即从“填着值域\(1 \sim m\)的数字且\(n^2\)个数字两两不同”的所有方案中随机选一个。

然后你会从\(1\sim m\)中随机选出\(k(n≤k≤m)\)个不同的数,并且报出来。报出一个数字,如果在棋盘中出现过,就把对应格涂黑。设\(t\)为完全染黑的行数、完全染黑的列数的和,你的最终得分为\(2^t\)求得分的期望。如果超过\(10^{99}\),输出\(1e99\)

思路：

观察到题目中有一个非常恼人的 \(2^r\)。我们考虑一下这个东西的实际含义：从 \(t\) 个染黑的行和列中选一个子集（一些行+一些列）的方案数

所以我们不妨去计算对于一个有 \(r\) 行，\(c\) 列的集合是多少集合的子集，这个就是这个集合对答案的贡献。

首先我们思考一下总方案数是多少：\(\binom{m}{n^2}\times \binom{m}{k}\)

然后我们枚举选了 \(r\) 行 和 \(c\) 列，总贡献是多少：\(\sum\limits_{r=0}^{n}\sum\limits_{c=0}^{n}\binom{m}{n^2}\binom{n}{r}\binom{n}{c}\binom{m-num}{k-num},num=(r+c)\times n-r-c\)

简单解释一下这个式子是什么意思：首先你需要选一个棋盘，方案数 \(\binom{m}{n^2}\)；然后你要选一些行和一些列作为被涂黑的行和列: \(\binom{n}{r}\binom{n}{c}\)；然后我们这 \(r\) 行 \(c\) 列覆盖了一共 \((r+c)\times n-r-c\) 个格子，这些格子都必须被涂黑，所以除去这些格子之后还有 \(\binom{m-num}{k-num}\) 种方案数。

所以总方案数为 \(Ans=\frac{\sum\limits_{r=0}^{n}\sum\limits_{c=0}^{n}\binom{m}{n^2}\binom{n}{r}\binom{n}{c}\binom{m-num}{k-num}}{\binom{m}{n^2}\binom{m}{k}}=\frac{\sum\limits_{r=0}^{n}\sum\limits_{c=0}^{n}\binom{n}{r}\binom{n}{c}\binom{m-num}{k-num}}{\binom{m}{k}}\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define double long double
const int maxn=1e5+5;
int n,m,k;
double f[maxn];
double C(int n,int m){
    return f[n]-f[m]-f[n-m];
}
void init(){
    int N=maxn-5;
    for(int i=1;i<=N;i++)f[i]=f[i-1]+log(1.0*i);
}
double ans;
signed main(){
    cin>>n>>m>>k;
    init();
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            int num=(i+j)*n-i*j;
            if(num<=k){
                double p=C(n,i)+C(n,j)+C(m-num,k-num)-C(m,k);
                ans=min(ans+exp(p),(double)(1e99));
            }
        }
    }
    printf("%.10Lf\n",ans);
    return 0;
}