P与NP

P = NP ?

著名的千禧年七大难题之一
只要解决了它百万奖金等你来领

基本概念

P 类：可以在多项式时间内解决的问题
（Polynomial 多项式）

NP 类：可以在多项式时间内验证的问题
（nondeterministic polynomial 非确定性多项式）

像 找出一列数中的最大值、对一列数进行排序这样 可以找出一个多项式时间算法（ O(n) 或 O(n^a) ）的问题，我们都可以将其划分到 P 类

• 我们很容易想到，P 类问题是包含在 NP 类问题内的

毕竟如果对于一个问题，要是已经能在多项式时间内解决它找出它的解了，验证时直接将输入值和解比较一下就行了，这比较的过程肯定是在多项式时间内的

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对应地，考虑那些属于 NP 类，但又可能不属于 P 类的问题，
（也就是能在多项式时间内验证，但至今找不出一个多项式时间解法的问题）
它们可以通过 归约 归于一些较为精简的问题，即
NPC （ C 指 Complete ）类

归约

一种使一个 NP 问题和另一个 NP 问题等价的思路/方法

用处

给定一个问题 A ，你要怎么判断（证明）它是 NP 类？

归约的过程：

找到另一个已知是 NP 类的问题 B ，使得可以在多项式时间内将 A 转换为 B （或者将 B 转换为 A ，这其实一个意思）
即输入相同时，两个问题的输出也一定相同，我们就可以说这两个问题等价
这样一来 A 就也属于 NP 类

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插播一则笑话：
一个数学家去应聘消防员，别人问他：“如果房子起火了，你应该怎么做？”
他给出的步骤完全正确。
又问：“那如果房子没有起火，你会怎么做？”
答：“我会把房子点燃，这样这个问题就归约为了上一个问题。”

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由此可知，归约能将无数个千变万化的问题缩减到几个精简的问题来研究
只要解决了这几个具有代表性的问题，就一定能解决与之同类的问题
这样就大大缩小了研究范围，给前路的探索带来了一线曙光！
而这些具有代表性的问题就被称为 NPC 类问题（ C 指 Complete ）

所以， NPC 在这里指的不是什么非玩家角色，它是 NP 类的子集，可以由一些 NP 问题归约得到

有了证明的工具，现在要找的就是哪些问题比较具有代表性，可以作为 NPC 类

NPC

电路可满足性问题

首先来想象一个简单的逻辑电路，它的基本元件有： 与门、或门、非门
（以下的 a 、b 的值都是 0 或 1）
与门：输入 a 和 b，输出 a & b
或门：输入 a 和 b，输出 a | b
非门：输入 a ，输出 !a
这几个逻辑门好像还有很多别名什么的（比如电路元素、布尔组合元素）
使用这三种逻辑运算就可以应对我们需要面对的任何问题啦
（事实上，非门本身就是由 与门 和 或门 组合而成的，用这两种其实就够了）
可满足性：对于这个电路，存在一组输入使得最终的输出为 1
那么电路可满足性问题就是：给定一个电路，判断这个电路是否是可满足的

未完待续