十一周：振动合成与声速测量

实验名称：振动合成与声速测量

一、实验目的

1. 了解简谐振动的叠加与形成的合成振动。
2. 掌握同频振动与不同频率振动的合成规律，理解李萨如图形的本质。
3. 理解驻波的形成条件与特点。
4. 通过驻波法与行波法测量空气中的声速，并比较两种方法的差异。

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二、实验仪器

声速测定仪、数字示波器、信号发生器、压电陶瓷换能器、连接线等。

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三、实验原理

1. 振动的合成

（1）两个同频简谐振动合成
若质点同时参与两个同频振动：

\[x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) \]

\[x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2) \]

合成振动为：

\[x = A\cos(\omega t + \varphi) \]

其中振幅与初相位为：

\[A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} \]

\[\varphi = \arctan\left( \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2} \right) \]

（2）两个互相垂直的同频振动
若：

\[x = A_3\cos(\omega t + \varphi_3) \]

\[y = A_4\cos(\omega t + \varphi_4) \]

可得轨迹方程：

\[\frac{x^2}{A_3^2} + \frac{y^2}{A_4^2} - \frac{2xy}{A_3A_4} \cos(\varphi_4 - \varphi_3) = \sin^2(\varphi_4 - \varphi_3) \]

这是李萨如图形的基本方程。

若频率比为整数：

\[\frac{\omega_y}{\omega_x} = \frac{N_y}{N_x} \]

即可通过李萨如图形判断频率比。

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2. 驻波的形成

两个反向行波叠加：

\[u_1 = A\cos(\omega t - kx) \]

\[u_2 = A\cos(\omega t + kx) \]

合成：

\[u = 2A\cos kx \cos\omega t \]

空间因子为节振动（决定波节/波腹），时间因子为简谐振动。

波节位置满足：

\[kx = (2k+1)\frac{\pi}{2} \quad (k = 0,1,2,\ldots) \]

相邻波节间距为：

\[\frac{\lambda}{2} \]

可用于测定声波波长。

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3. 行波法测声速

已知声波振动：

\[y_1 = y_0\cos(2\pi ft + \varphi) \]

接收端相位差与距离关系：

\[\Delta \varphi = \frac{2\pi fx}{v} = \frac{2\pi x}{\lambda} \]

当相位差变化一周（从 0 到 (2\pi)）对应移动距离：

\[\Delta x = \lambda \]

若相位差变化为 (\pi)，对应：

\[\Delta x = \frac{\lambda}{2} \]

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4. 声速公式

直接法（温度修正）：

\[v_t = 331.45\sqrt{\frac{t}{273.15} + 1} \quad (\text{m/s}) \]

理论声速：

\[v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} \]

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四、实验内容

1. 驻波法：

   • 调节声波，使压电换能器产生驻波；
   • 通过观察驻波波腹变化位置，记录若干个波节间的距离；
   • 由波节间距求出波长；
   • 最终计算声速。

2. 行波法：

   • 利用示波器观察发射与接收信号的李萨如图形；
   • 平移接收换能器，使图形变为直线或闭合曲线；
   • 记录对应位置；
   • 由相位差变化求波长，再求声速。