bzoj 3196: Tyvj 1730 二逼平衡树
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Description
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列，其中需要提供以下操作：
1.查询k在区间内的排名
2.查询区间内排名为k的值
3.修改某一位值上的数值
4.查询k在区间内的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
5.查询k在区间内的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
Input
第一行两个数 n,m 表示长度为n的有序序列和m个操作
第二行有n个数，表示有序序列
下面有m行，opt表示操作标号
若opt=1 则为操作1，之后有三个数l,r,k 表示查询k在区间[l,r]的排名
若opt=2 则为操作2，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内排名为k的数
若opt=3 则为操作3，之后有两个数pos,k 表示将pos位置的数修改为k
若opt=4 则为操作4，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的前驱
若opt=5 则为操作5，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的后继
Output
对于操作1,2,4,5各输出一行，表示查询结果
Sample Input
9 6
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
3 4 10
2 1 4 3
1 2 5 9
4 3 9 5
5 2 8 5
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
3 4 10
2 1 4 3
1 2 5 9
4 3 9 5
5 2 8 5
Sample Output
2
4
3
4
9
4
3
4
9
HINT
1.n和m的数据范围：n,m<=50000
2.序列中每个数的数据范围：[0,1e8]
3.虽然原题没有，但事实上5操作的k可能为负数
题解：
第一次写树套树，写了半天调了半天。。。
首先，询问操作如果不加区间的话很容易看出来是平衡树，伸展树等数据结构就可以维护的。但是现在有区间，关系到区间就容易想到是线段树。所以就愉快地线段树套splay了。
树套树的思路还是很好理解的，相当于建一棵线段树，线段树中每个节点的信息用splay来维护，splay是很多棵splay，不同的节点组成不同的splay来维护不同的线段树区间。假设有以root[x]为根的splay来维护[l,r]，那么此splay中的节点就是线段树[l,r]里的所有值。
下面的代码中findkth(),有两个，第一个用/* */括起来的是可能会WA的，得到的答案会比标准答案小一，但是WA的概率相当低，我并没有看出来为什么错，求解释啊。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 using namespace std; 10 const int inf=1e9; 11 const int maxn=500005,maxm=5000005; 12 int N,M,ANS,a[maxn]; 13 int Siz,root[maxn],lc[maxm],rc[maxm],key[maxm],siz[maxm],fa[maxm],cnt[maxn]; 14 inline void update(int x){ 15 siz[x]=siz[lc[x]]+siz[rc[x]]+1; 16 } 17 inline void r_rotate(int x){ 18 int y=fa[x]; 19 lc[y]=rc[x]; 20 if(rc[x]) fa[rc[x]]=y; 21 fa[x]=fa[y]; 22 if(y==lc[fa[y]]) lc[fa[y]]=x; 23 else rc[fa[y]]=x; 24 fa[y]=x; rc[x]=y; 25 update(y); update(x); 26 } 27 inline void l_rotate(int x){ 28 int y=fa[x]; 29 rc[y]=lc[x]; 30 if(lc[x]) fa[lc[x]]=y; 31 fa[x]=fa[y]; 32 if(y==lc[fa[y]]) lc[fa[y]]=x; 33 else rc[fa[y]]=x; 34 fa[y]=x; lc[x]=y; 35 update(y); update(x); 36 } 37 inline void splay(int rt,int x,int s){//在维护线段树节点标号为 rt 的 splay 中 把 x 节点旋至 s 的下面 38 int p; 39 while(fa[x]!=s){ 40 int p=fa[x]; 41 if(fa[p]==s){ 42 if(x==lc[p]) r_rotate(x); 43 else l_rotate(x); 44 break; 45 } 46 else if(x==lc[p]){ 47 if(p==lc[fa[p]]) r_rotate(x),r_rotate(x); 48 else r_rotate(x),l_rotate(x); 49 } 50 else if(x==rc[p]){ 51 if(p==rc[fa[p]]) l_rotate(x),l_rotate(x); 52 else l_rotate(x),r_rotate(x); 53 } 54 } 55 if(s==0) root[rt]=x; 56 } 57 inline void insert(int rt,int v){//在维护线段树节点标号为rt的splay中插入权值为v的点 58 if(root[rt]==0){ 59 root[rt]=++Siz; 60 siz[root[rt]]=1; key[root[rt]]=v; 61 return ; 62 } 63 int tmp,x=root[rt]; 64 while(x!=0){ 65 tmp=x; 66 if(v<=key[x]) siz[x]++,x=lc[x]; 67 else siz[x]++,x=rc[x]; 68 } 69 if(v<=key[tmp]){ 70 lc[tmp]=++Siz; 71 fa[Siz]=tmp; key[Siz]=v; siz[Siz]=1; 72 } 73 else{ 74 rc[tmp]=++Siz; 75 fa[Siz]=tmp; key[Siz]=v; siz[Siz]=1; 76 } 77 splay(rt,Siz,0); 78 } 79 inline void build(int rt,int l,int r,int x,int num){//在线段树里的标号是rt维护序列 l~r 在序列中是第x个数字 数字大小是num 80 insert(rt,num); 81 if(l==r) return ; 82 int mid=(l+r)>>1; 83 if(x<=mid) build(rt<<1,l,mid,x,num); 84 else build(rt<<1|1,mid+1,r,x,num); 85 } 86 87 inline int ask_rank(int x,int v){//在以x为根的splay中找 v 的排名 88 if(x==0) return 0; 89 if(v<key[x]) return ask_rank(lc[x],v); 90 else return siz[lc[x]]+1+ask_rank(rc[x],v); 91 } 92 93 inline int get_rank(int rt,int l,int r,int x,int y,int num){ 94 if(l==x&&r==y){ 95 return ask_rank(root[rt],num); 96 } 97 int mid=(l+r)>>1,ans=0; 98 if(mid>=y) return get_rank(rt<<1,l,mid,x,y,num);//待询问区间完全存在于左子树 99 else if(mid<x) return get_rank(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,num); 100 else{ 101 ans+=get_rank(rt<<1,l,mid,x,mid,num); 102 ans+=get_rank(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num); 103 return ans; 104 } 105 } 106 107 inline int findkth(int l,int r,int x,int y,int k){//二分区间在[l,r]之间的数字，线段树中是序列的[x,y]位，要找第 k 小 108 /* 109 while(l+1<r){ 110 int mid=(l+r)>>1; 111 if(get_rank(1,1,N,x,y,mid-1)+1<=k) l=mid; 112 else r=mid-1; 113 } 114 if(get_rank(1,1,N,x,y,r-1)+1==k) return r; 115 return l; 116 */ 117 int ans; 118 while(l<=r){ 119 int mid=(l+r)>>1; 120 if(get_rank(1,1,N,x,y,mid-1)+1<=k){ 121 l=mid+1; ans=mid; 122 } 123 else r=mid-1; 124 } 125 return ans; 126 } 127 inline int findv(int rt,int v){ 128 int x=root[rt]; 129 while(x!=0){ 130 if(v<key[x]) x=lc[x]; 131 else if(v>key[x]) x=rc[x]; 132 else{ 133 splay(rt,x,0); 134 return x; 135 } 136 } 137 return -1; 138 } 139 inline int getmax(int x){ 140 int tmp; 141 while(x!=0){ 142 tmp=x; x=rc[x]; 143 } 144 return tmp; 145 } 146 inline int getmin(int x){ 147 int tmp; 148 while(x!=0){ 149 tmp=x; x=lc[x]; 150 } 151 return tmp; 152 } 153 inline void Delete(int rt,int num){ 154 int x=findv(rt,num); 155 if(x==-1) return ; 156 int pp=getmax(lc[x]),nn=getmin(rc[x]); 157 if(lc[x]==0||rc[x]==0){ 158 if(lc[x]==0&&rc[x]==0){ 159 root[rt]=0; return ; 160 } 161 else if(lc[x]==0){ 162 fa[rc[x]]=0; root[rt]=rc[x]; 163 siz[x]=1; 164 return ; 165 } 166 else if(rc[x]==0){ 167 fa[lc[x]]=0; root[rt]=lc[x]; 168 siz[x]=1; 169 return ; 170 } 171 } 172 splay(rt,pp,0); 173 splay(rt,nn,root[rt]); 174 fa[lc[nn]]=0; siz[lc[nn]]=1; lc[nn]=0; 175 update(nn); update(pp); 176 } 177 inline void change(int rt,int l,int r,int pos,int num,int last){//修改操作 178 Delete(rt,last); insert(rt,num); 179 if(l==r) return ; 180 int mid=(l+r)>>1; 181 if(pos<=mid) change(rt<<1,l,mid,pos,num,last); 182 else change(rt<<1|1,mid+1,r,pos,num,last); 183 } 184 inline void pre(int x,int num){ 185 if(x==0) return ; 186 if(key[x]<num){ 187 ANS=max(ANS,key[x]); 188 pre(rc[x],num); 189 } 190 else pre(lc[x],num); 191 } 192 inline void get_pre(int rt,int l,int r,int x,int y,int num){ 193 if(l==x&&r==y){ 194 pre(root[rt],num); 195 return ; 196 } 197 int mid=(l+r)>>1; 198 if(mid>=y) get_pre(rt<<1,l,mid,x,y,num); 199 else if(mid<x) get_pre(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,num); 200 else{ 201 get_pre(rt<<1,l,mid,x,mid,num); 202 get_pre(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num); 203 } 204 } 205 inline void succ(int x,int num){ 206 if(x==0) return ; 207 if(key[x]>num){ 208 ANS=min(ANS,key[x]); 209 succ(lc[x],num); 210 } 211 else succ(rc[x],num); 212 } 213 inline void get_succ(int rt,int l,int r,int x,int y,int num){ 214 if(l==x&&r==y){ 215 succ(root[rt],num); 216 return ; 217 } 218 int mid=(l+r)>>1; 219 if(mid>=y) get_succ(rt<<1,l,mid,x,y,num); 220 else if(mid<x) get_succ(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,num); 221 else{ 222 get_succ(rt<<1,l,mid,x,mid,num); 223 get_succ(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,num); 224 } 225 } 226 227 inline void insertinf(int x){ 228 if(x>=50) return ; 229 else{ 230 insert(x,-inf); insert(x,inf); 231 insertinf(x<<1); insertinf(x<<1|1); 232 } 233 } 234 int main(){ 235 // freopen("psh.in","r",stdin); 236 // freopen("psh.out","w",stdout); 237 scanf("%d%d",&N,&M); 238 for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&a[i]); 239 for(int i=1;i<=N;i++) 240 build(1,1,N,i,a[i]); 241 while(M--){ 242 int f; scanf("%d",&f); 243 int x,y,k,pos; 244 switch(f){ 245 case 1:scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);//表示查询 k 在区间 [l,r] 的排名 246 printf("%d\n",get_rank(1,1,N,x,y,k-1)+1); 247 break; 248 case 2:scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);//查询区间内排名为 k 的值 249 printf("%d\n",findkth(0,inf,x,y,k)); 250 break; 251 case 3:scanf("%d%d",&pos,&k);//把序列中的第pos位数改成k 252 change(1,1,N,pos,k,a[pos]); 253 a[pos]=k; 254 break; 255 case 4:scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); 256 ANS=0; get_pre(1,1,N,x,y,k); 257 printf("%d\n",ANS); 258 break; 259 case 5:scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); 260 ANS=inf; get_succ(1,1,N,x,y,k); 261 printf("%d\n",ANS); 262 break; 263 } 264 } 265 return 0; 266 }
