网络流做题笔记

P3227 [HNOI2013] 切糕
考虑最小割。
对于一个坐标上的点只能选择一个 \(z\) 坐标，将 \(z\) 坐标的费用作为流量顺次连接。
第二个限制条件，先去绝对值，枚举较大值。
再限制较小值，不能小于 \(z-D\)，从 \((x,y,z)\) 向 \((x',y',z-D)\) 连 \(inf\) 即可。

方格取数问题
相邻节点之间都有限制，一对限制取两点最小值，跑最小割即可。
将网格线规定限制方向，使每个点只连向源点或汇点，黑白染色即可。

最长k可重线段集问题
与最长 \(k\) 可重区间集问题相似，不同之处是 \(l=r\) 的情况。
考虑不能有自环，处理一个自己连向自己的边，将一个数轴上的点拆为入点和出点即可。

最长不下降子序列问题
思路：看到最长，考虑费用流，魔改只有跑出来最长路时累加答案，过了。

考虑最大流做法，先 \(O(n^2)dp\) 将 \(f_i=1\) 的点与源点连边，\(f_i=\max_j{f_j}\) 的点与汇点连边。
两点之间满足 \(f_i+1=f_j\) 且 \(a_i\le a_j\) 连边。
点有次数限制，拆点即可。

[THUPC 2025 初赛] 检查站
点有流量限制，拆成入点和出点，出点向入点连边，限制点的流量。
考虑将 \(u\) 连检查站的入点，\(v\) 连检查站的出点，使 \(u\) 到 \(v\) 一定要断掉检查站的边。

为什么不能随意选检查站：可能有两对互不连通的点交在一个检查站上联通。

[SCOI2007] 修车
考虑到每个人修的车数不同时等待时间不同，将每个点拆成 \(n\) 个不同的点，表示状态，分别考虑费用即可。

最小割

设一个图可以支付一定边权将一条边删除。
\(s\) 到 \(t\) 的最小割为将 \(s\) 和 \(t\) 划分成不联通的两个集合 \(S\) 和 \(T\) 的最小代价。

有最小割的 二选一 模型，设 \(0/1\) 变量 \(x_i\) 表示第 \(i\) 个元素选 / 不选。
求 \(\min{(\sum\limits_{i} a_i x_i + \sum\limits_{i} b_i \bar{x_i} + \sum\limits_{i,j}(c_{i,j} x_i \bar{x_j}))}\)（\(a_i,b_i,c_{i,j} \ge 0\)）。
设 \(i\) 与 \(s\) 相连表示选此元素。
\(s\) 向 \(i\) 连 \(a_i\) 流量，割掉这条边表示不选 \(i\)。
\(i\) 向 \(t\) 连 \(b_i\) 流量，割掉这条边表示选 \(i\)。
\(i\) 向 \(j\) 连 \(c_{i,j}\) 流量，割掉这条边表示选 \(i\) 且不选 \(j\)。
最后减去图的最大流即可。

关于处理 $ - x_i x_j$。

\[\begin{aligned} - x_i x_j &= x_i (\bar{x_j} - 1) \\ &= x_i \bar{x_j} - x_i \\ &= x_i \bar{x_j} + \bar{x_i} - 1 \end{aligned} \]

可以转化为对应形式。

疑似不能解决 \(x_i x_j\) 形式的代价。

[CEOI 2008] order
最小化费用，经典最小割。
最小割割掉哪一层相当于支付那一层的代价，每一条链只会支付其中一个代价。
将买的花费，租的花费，不做工作的花费，分别建三层即可。

文理分科
我们要处理 \(\max{( \sum\limits_{i} (a_i x_i + b_i \bar{x_i}) + \sum\limits_{i}c_i \prod\limits_{x \in X_i}x_i + \sum\limits_{i}d_i \prod\limits_{x \in Y_i}\bar{x_i} )}\) 。
发现网络流类问题 与 不好做，转化为 或。
设 \(i\) 与 \(s\) 相连表示选此元素。

下面只讨论 \(\sum\limits_{i}c_i \prod\limits_{x \in X_i}x_i\) 的处理方法。
新建一个点 \(p\) 表示该限制。
集合 \(X_i\) 任意元素划分到 \(T\) 均不合法，将 \(p\) 向集合 \(X_i\) 中的每个元素连一条大小为 \(inf\) 的边。
还可以不选集合 \(X_i\) 的贡献，\(s\) 向 \(p\) 连 \(c_i\) 流量。

Two Permutations
每个排列有两种选择（重排 / 不重排），一定的是，一个置换环上的点一定是同一种选择。
考虑将每个置换环看作一个点，每个点有两种选择，经典 二选一 类最小割。
分类讨论下标 \(i\) 的贡献。
设 \(f_i,g_i\) 表示是否重排排列 \(P,Q\)。

1. \(x_i = y_i = i\)，一定会有 \(1\) 的花费。
2. \(x_i = y_i \neq i\)，\(f_i g_i\) 和 \(\bar{f_i} \bar{g_i}\) 都有 \(1\) 的花费。
3. \(x_i \neq y_i , x_i = i\)，\(g_i\) 会有 \(1\) 的花费。
4. \(x_i \neq y_i , y_i = i\)，\(f_i\) 会有 \(1\) 的花费。
5. \(x_i \neq y_i , y_i \neq i , x_i \neq i\)，\(f_i g_i\) 会有 \(1\) 的花费。

发现有上文无法解决的 \(f_i g_j\) 形式的代价。
观察性质，发现为两个 独立的 集合可以通过 反转 第二个集合定义，将式子改为 \(f_i \bar{g_i}\) 的形式。
此时 \(P_i\) 与 \(s\) 相连表示选 \(P_i\)，相反的 \(Q_i\) 与 \(s\) 相连表示不选 \(Q_i\)。
直接使用上述模板即可。