数据结构做题笔记

线段树

查找 Search
经典的想法：维护每个点合法的前驱位置，用线段树区间查找最大值是否比左端点大即可。
事实：单点修改时改变的前驱很多，无法直接维护。
优化：考虑不记录多余位置，当两个数前驱相同时，后一个数一定不会造成贡献。

富金森林公园
\(联通段数=点数-边数\)。
将 \(k\le a_i\) 的点数都加一，\(k\le min(a_i,a_{i-1})\) 的边数都加一，模拟即可。

Hills and Pits
当且仅当区间和小于零时无解。
容易发现答案最大为 \((r-l)*2\)，将整个序列扫两遍。
整个过程形如找一个起点绕到左端点，走到右端点后走到一个终点。
左端点到起点（终点到右端点）之间的线段一定走了两次。
起点与终点之间的线段走了一次或三次。
贪心的考虑中间部分，当一个点的前缀和第一次大于等于零时，一定会先把之前的坑填上。
左端点为负的线段一定被算三次，为正一定被算一次。
区间最大子段和即可。

\(trie\)

[省选联考 2020 A 卷] 树
经典，考虑求答案时异或操作可以 \(01trie\) 上 \(pushup\)（其实直接维护根节点就行）。
将儿子进行合并，然后整体加一，再插入一个值。
\(01trie\) 整体加一，低位作为父亲，交换左右儿子即可。

并查集

白雪皑皑
倒序枚举染色，指向后面第一个没被染色的点，暴力修改即可。

[Ynoi2013] 大学
区间求和用树状数组，考虑一个数最多改变 \(O(\log V)\) 次，这一部分时间复杂度为 \(O(n \log n \log V)\)。
考虑如何找到要修改的点。
将每个数放到自己的因数集合中，共 \(O(n \sum_i d(a_i))\) 个元素。
每次操作相当于将区间一段数修改，使用上一题的并查集即可。

分块

「JOISC 2016 Day 3」回转寿司
思考部分分 \(l=1,r=n\) 的情况。
我们发现只会替换掉全局的最大值（或不替换），直接大根堆维护即可。
回到原题，将序列分块，整块直接用上述方法维护，问题在如何还原散块进行暴力。
我们发现修改的顺序没有影响，只需要将所有操作的最小值与当前位置交换即可。

区间 LIS
题如其名，有 \(O(n \log^2{n})\) 的论文，但我不会。
考虑我们二分求解 \(LIS\) 的过程，我们有 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的最长上升子序列结尾的最小元素。
设从 \(l\) 到 \(r\) 的 \(dp\) 数组中元素集合为 \(S(l,r)\)。
我们发现一定有 \(S(l+1,r) \subseteq S(l,r)\)（有可能多出 \(l\) 处的元素）。
考虑枚举右端点。
因为每个元素一定是一段前缀，所以只需要知道每个元素的出现的最后位置 \(p_i\)，问题就变成了全局 \(\le l\) 的数个数。
维护每个数的出现位置，考虑 \(r\) 到 \(r+1\) 的变化。
一定有 \(p_{a(r+1)}=r+1\)，只有比它大的元素被修改。
\(1\) 到 \(r\) 第一个比 \(a(r+1)\) 大的数 \(nxt(a(r+1))\) 一定被替换，位置改为 \(0\)。
下一个比 \(a(r+1)\) 大的数只有在 \(nxt(a(r+1))\) 被替换掉的时候才会被替换，位置改为 \(\min{(p_{(nxt(a(r+1)))},p_{nxt(nxt(a(r+1)))})}\)。
至此，容易发现我们要做一个 「JOISC 2016 Day 3」回转寿司 即可。

动态树类问题

1. 路径类问题考虑 \(LCT\)（暂不会）。
2. 子树类问题考虑平衡树维护欧拉序（括号序），维护每个点左右括号编号。
   分裂出子树在平衡树上暴力跳父亲求出左右括号排名即可。
3. 只有加点考虑根号重构（加入 \(B\) 个点后重构），配合 \(O(n)\) 初始化数据结构使用。
4. 考虑树分块。

树的直径

动态直径
先把整棵树拍成序列，路径问题用欧拉序。
动态维护 \(\max_{i\le j}{( dep_i + dep_j - 2 \min\limits_{k=i}^{j} dep_k )}\)。
可合并信息，线段树即可。

也有结论，集合 \(S \cap T\) 的直径一定在 \(S\) 和 \(T\) 的直径四个点之中，线段树随便维护。