莫比乌斯反演

前言

莫比乌斯反演用来将一个式子转化为较好维护的形式。
下文\(*\)均指\(Dirichlet\) 卷积。
\(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\) 简记为 \(\frac{a}{b}\) 。

莫比乌斯函数

定义：

\[\mu(x)= \begin{cases} 1\ , x=1\\ 0\ ,\ x\ 含有至少两个相同质因子 \\ (-1)^{n}\ ,\ n\ 为\ x\ 不同的质因子个数 \end{cases} \]

有\(\mu*1=\epsilon\)。

证明：
设 \(\mu(x)*I(x)=\epsilon(x)\)
设 \(x\) 有 \(n\) 个不同的质因子。

\[ \begin{aligned} \mu(x)*I(x) &=\sum_{i=1}^{n}(-1)^i \binom{n}{i} \\ &=(1-1)^n \\ &=\epsilon(x) \end{aligned} \]

莫比乌斯变换

若

\[f(x)=\sum_{d|x}g(d) \]

则

\[g(x)=\sum_{d|x}\mu(d)f(\frac{x}{d}) \]

常见结论

\[\varphi=id*\mu \]

证明：

\[ \begin{aligned} \varphi(x) &=\sum_{i=1}^{x}[(i,x)=1] \\ &=\sum_{i=1}^{x}\sum_{k=1}^{x}[k|i][k|x]\mu(k) \\ &=\sum_{k=1}^{x}\sum_{i=1}^{x}[k|i][k|x]\mu(k) \\ &=\sum_{k|x}\mu(k)\sum_{i'=1}^{x/k}1 \\ &=\sum_{k|x}\mu(k)\frac{x}{k} \end{aligned} \]

\[\varphi*I=id \]

\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1] \]

含义：
对于互质的 \(x,y\) 和质数 \(p\)，若 \(p^c|x\) 则 \(p\) 的次数为 \(c\) ，若 \(p^c|y\) 则 \(p\) 的次数为 \(p|x\) 的总次数加 \(c\)

[SDOI2015] 约数个数和
「P6156 简单题」加强版
SP7001 VLATTICE - Visible Lattice Points

非卷积形式

数论函数 \(f,g\) ，和完全极性函数 \(t\) 。

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}t(i)g(\frac{n}{i}) \Leftrightarrow g(x)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)t(i)f(\frac{n}{i}) \]