树形dp套路合集：找到二叉树中的最大搜索二叉子树 & 判断二叉树是否为平衡二叉树 & 二叉树节点间的最大距离问题
找到二叉树中的最大搜索二叉子树
《程序员代码面试指南》第38题 P121 难度：尉★★☆☆
书上原话：“本题涉及二叉树面试题中一个很常见的套路，也是全书的一个重要内容”。可见其重要性。
这个套路的名字叫做树形dp套路。
树形dp套路使用前提：如果题目求解目标是S规则，则求解流程可以定成以每一个节点为头结点的子树在S规则下的每一个答案，并且最终答案一定在其中。
以本题为例，求解流程可以定成：在整棵二叉树中，求出每一个节点为头结点的子树的最大搜索二叉子树（对任何一棵子树都求出答案），并且最终答案（整棵二叉树的最大搜索二叉子树）一定在其中。
树形dp套路第一步：以某个节点X为头结点的子树中，分析答案有哪些可能性，并且这种分析是以X的左子树、X的右子树和X整棵树的角度来考虑可能性的。
以本题举例，包含三种可能性。概括而言，最大搜索二叉子树可能来自左子树或右子树，或者是用X连起左子树和右子树所构成的整体。
树形dp套路第二步：根据第一步的可能性分析，列出所有需要的信息。
以本题举例，左树上需要的信息为leftMaxBSTHead、leftBSTSize、leftMax；右树上需要的信息为rightMaxBSTHead、rightBSTSize、rightMin。
树形dp套路第三步，合并第二步的信息，对左树和右树提出同样的要求，并写出信息结构。
以本题举例，合并成包含maxBSTHead、maxBSTSize、max和min的ReturnType类。需要通过它们来判断第一步中的三种可能性。
public class ReturnType {
public Node maxBSTHead;
public int maxBSTSize;
public int min;
public int max;
public ReturnType(Node maxBSTHead, int maxBSTSize, int min, int max) {
this.maxBSTHead = maxBSTHead;
this.maxBSTSize = maxBSTSize;
this.min = min;
this.max = max;
}
}树形dp套路第四步：设计递归函数，递归函数是处理以X为头结点的情况下的答案，包括
- 设计递归的base case（本题中即为空树的情况）
- 直接得到左树和右树的所有信息
- 把可能性做整合
- 返回第三步的信息结构
代码如下：
public ReturnType process(Node X) {
// base case : 如果子树是空树
// 最小值为系统最大
// 最大值为系统最小
if (X == null) {
return new ReturnType(null, 0, Integer.MAX_VALUE, Integer.MIN_VALUE);
}
// 默认直接得到左树全部信息
ReturnType lData = process(X.left);
// 默认直接得到右树全部信息
ReturnType rData = process(X.right);
// 以下过程为信息整合
// 同时以X为头的子树也做同样的要求，也需要返回如ReturnType描述的全部信息
// 以X为头的子树的最小值是：左树最小、右树最小、X的值，三者中最小的
int min = Math.min(X.value, Math.min(lData.min, rData.min));
// 以X为头的子树的最大值是：左树最大、右树最大、X的值，三者中最大的
int max = Math.max(X.value, Math.max(lData.max, rData.max));
// 如果只考虑可能性一和可能性二，以X为头的子树的最大搜索二叉树大小
int maxBSTSize = Math.max(lData.maxBSTSize, rData.maxBSTSize);
// 如果只考虑可能性一和可能性二，以X为头的子树的最大搜索二叉树头节点
Node maxBSTHead = lData.maxBSTSize >= rData.maxBSTSize ? lData.maxBSTHead
: rData.maxBSTHead;
// 利用收集的信息，可以判断是否存在可能性三
if (lData.maxBSTHead == X.left && rData.maxBSTHead == X.right
&& X.value > lData.max && X.value < rData.min) {
maxBSTSize = lData.maxBSTSize + rData.maxBSTSize + 1;
maxBSTHead = X;
}
// 信息全部搞定，返回
return new ReturnType(maxBSTHead, maxBSTSize, min, max);
}树形dp套路就是以上四个步骤，就是利用递归函数设计一个二叉树后序遍历的过程：先遍历左子树收集信息，然后是右子树收集信息，最后在头节点做信息整合。因为是递归函数，所以对所有的子树要求一样，都返回ReturnType的实例。依次求出每棵子树的答案，总答案一定在其中。主方法如下：
public Node getMaxBST(Node head) {
return process(head).maxBSTHead;
}详细解析见书P122-124。（第一次做这种树形dp套路的题，书上说后面还有一些题是用这种套路来解题，待我做到后面再多加熟练熟练）
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（2022年1月30日10:25:39 更新）
判断二叉树是否为平衡二叉树
《程序员代码面试指南》第44题 P146 难度：士★☆☆☆
此题为树形dp套路的第2题，较为简单，一下就想到思路。
首先，树形dp套路的前提是满足的，依次考查每个节点为头节点的子树，如果都是平衡二叉树，那么整体就是平衡二叉树。
树形dp套路步骤不再叙述，见上题。
本题中，第一步即有4种可能性，前3种为不平衡：①左子树不平衡②右子树不平衡③左右子树的高度差超过1；最后一种就是剩下的一种情况，为平衡二叉树：④左右子树都平衡且高度差不超过1。
第二步得出需要知道左右子树是否平衡，以及它们的高度差这些信息。
根据第二步，第三步得出ReturnType类
public class ReturnType {
public boolean isBalanced;
public int height;
public ReturnType(boolean isBalanced, int height) {
this.isBalanced = isBalanced;
this.height = height;
}
}第四步，设计递归函数。
整体代码如下：
public ReturnType process(Node head) {
if (head == null) {
return new ReturnType(true, 0);
}
ReturnType leftData = process(head.left);
ReturnType rightData = process(head.right);
int height = Math.max(leftData.height, rightData.height) + 1;
boolean isBalanced = leftData.isBalanced && rightData.isBalanced
&& Math.abs(leftData.height - rightData.height) < 2;
return new ReturnType(isBalanced, height);
}
public boolean isBalanced(Node head) {
return process(head).isBalanced;
}----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（2022年2月18日10:26:06 更新）
二叉树节点间的最大距离问题
《程序员代码面试指南》第51题 P168 难度：尉★★☆☆
此题为树形dp套路的第3题，不小心看到了解答用的树形dp套路，没办法就顺着往下想了。知道是树形dp套路后还是很容易的。
树形dp套路前提是满足的：依次求出每一个节点为头节点的子树上的最大距离，最终答案一定在其中。
树形dp套路第一步：以某个节点X为头节点的子树中，分析答案来自哪些可能性……
可能性有3个：最大距离可能是 ①左子树上的最大距离 ②右子树上的最大距离 ③左子树高度+右子树高度+1
树形dp套路第二步：列出所有需要的信息，即子树上的最大距离以及高度。
树形dp套路第三步：定义ReturnType类
public class ReturnType {
public int maxDistance;
public int height;
public ReturnType(int maxDistance, int height) {
this.maxDistance = maxDistance;
this.height = height;
}
}树形dp套路第四步：设计递归函数（具体步骤第一题已经叙述过）
代码如下：
public ReturnType process(Node head) {
if (head == null) {
return new ReturnType(0, 0);
}
ReturnType leftData = process(head.left);
ReturnType rightData = process(head.right);
int height = Math.max(leftData.height, rightData.height) + 1;
int maxDistance = Math.max(leftData.height + rightData.height + 1,
Math.max(leftData.maxDistance, rightData.maxDistance));
return new ReturnType(maxDistance, height);
}
public int getMaxDistance(Node head) {
return process(head).maxDistance;
}
浙公网安备 33010602011771号