简单数学

简单 数学题

由于\(OI\)太弱了，所以只能学数学惹

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代数变形与不等式

1. 2015北大博雅计划：整数 \(x\)，\(y\)，\(z\) 满足 \(xy+yz+xz=1\) ，则 \((1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\) 可能取到的值为____

   \(A\)：16900

   \(B\)：17900

   \(C\)：18900

   \(D\)：以上都不对

   为了齐次化，将 \(xy+yz+xz=1\) 代入 \((1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\) 并化简得 \((x+y)^2(x+z)^2(y+z)^2\)， \(BC\) 不是平方数，排除。将 \(A\) 带入可以解出当：$x=-3，y= 5， z= 8 $ 时成立，故选 \(A\) 。本来想写大括号，Latex死活调不好，就放弃了QwQ

2. 2017北大博雅计划：整数 \(a\)，\(b\)，\(c\) 满足 \(a+b+c=1\)，\(s=(a+bc)(b+ac)(c+ab)>100\)，则 \(s\) 最小值属于下面哪个区间____

   \(A\)：\((100，110]\)

   \(B\)：\((110，120]\)

   \(C\)：\((120,130]\)

   \(D\)：以上均不对

   同样为了齐次化，因为 \(a+bc=1 \times a+bc\)，故同样将 \(a+b+c=1\) 代入得 \((a+b)(a+c)\) 。
   将其余两式做同样处理，可以得到 \(s=[(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2]>100\) 。
   所以 \(s_{min} \ge 121\)，要验证取等，即验证 \((a+b)(a+c)(b+c)= \pm 11\) 。
   因为 \(11\) 是奇数，所以\(a+b\)，\(a+c\)，\(b+c\)，均为奇数，但是 \((a+b)+(a+c)+(b+C)=2 \times (a+b+c)=2\) 为偶数，所以无法取等，答案为 \(D\) 。